Progresii aritmetice şi progresii geometrice

 

Progresii aritmetice

Definitia. Sirul de numere (a_n)_{n  N} se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat

an+1 - an = d,   ( nN )

adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu precedentul plus unul si acelasi numar (ratia).

Elementul a_n se numeste termen general al progresiei sau termen de rang n.

Progresiile aritmetice sunt de forma a₁, a₂, ..., a_n sau a₁ , a₁ + r , a₁ + 2r , ... , a₁ + (n-1)r unde:

• n este numărul de elemente din progresie,
• a_k = a₁ + (k - 1)r , pentru toţi k între 1 şi n, numită şi formula general a termenului unei progresii aritmetice.
• r este raţia : r = a_k - a_k-1 numită şi formula de recurenţă.
• Suma primelor n numere dintr-o progresie artimetică finită se poate calcula astfel:

• Exemplu : -1 , 2 , 5, 8, ... cu r = 3 şi a₁ = -1 .

 

Progresii geometrice

Definitia. Sirul de numere (b_n)_{n  N} se numeste progresie geometrica, daca exista un numar q, numit ratia progresiei, astfel incat

b_n+1 = b_n·q,     (n  N)

adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu produsul dintre termenul precedent si unul si acelasi numar (ratia).

Elementul b_n se numeste termen general al progresiei de rang n.

Exemple: 1, 2, 4, 8, ..., 2ⁿ, ...  cu b₁ = 1 si q = 2,

5, 15, 45, … cu b₁ = 5 si q = 3.

 

Termenul de rang n al progresiei geometrice se determine prin formula

bn = b1·qn-1,     (nN).

Patratul termenului de rang n este egal cu produsul termenilor echidistanti de el:

in caz particular, pentru orice trei termeni consecutivi

Daca k + n = m + p (k, n, m, p  N), atunci

bk·bn = bm·bp,

unde b_k, b_n, b_m, b_p - termeni ai progresiei geometrice b₁, b₂, ....

Numerele a, b, c formeaza o progresie geometrica (in ordinea indicata) daca si numai daca

b² = ac.

Suma primilor n termeni S_n ai unei progresii geometrice se determina prin formula

unde b₁ - primul termen, q - ratia, si b_n - termenul general al progresiei geometrice.