Puteri ale numerelor naturale

Trucuri şi exerciţii

Se numeşte pătrat perfect orice număr natural care se poate scrie ca puterea a doua a altui număr natural.

a pătrat perfect ‹=› a = k2

Se numeşte cub perfect orice număr natural care se poate scrie ca puterea a treia a altui număr natural.

a cub perfect  ‹=› a = k3

Iată câteva rezultate cunoscute in lucrul cu puteri:

1) Ultima cifră a unui pătrat perfect este doar una dintre cifrele

0, 1, 4, 5, 6, 9.

2) Orice pătrat perfect are una dintre formele 4p sau 8q +1.

(Într-adevăr,dacă n = 2k ,atunci n2 = 4k2 = 4p ,iar dacă n = 2k +1, avem n2 = 4k(k +1) +1= 8q +1)

3) Orice pătrat perfect este de forma 3p sau 3q +1.

(Ca şi mai sus, considerăm n = 3k sau n = 3k +1 sau n = 3k + 2 şi ridicăm la pătrat)

4) Dacă un pătrat perfect conţine un factor prim în descompunere, atunci acest factor este de fapt la o putere pară în descompunerea numărului iniţial.

5) Restul împărţirii oricărui pătrat perfect la 4 este 0 sau 1.

6) Un număr care se termina în una din cifrele 2, 3, 7, sau 8 nu este pătrat perfect.

7) Pentru a arăta că un număr nu este pătrat perfect mai putem arăta că el este cuprins între două pătrate de numere consecutive.

 

Câte numere naturale există între două numere naturale pătrate perfecte consecutive?

Numerele naturale pătrate perfecte consecutive sunt:
02; 12; 22; 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92; 102; ..., mai precis:
0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; ...
Între 0 şi 1 sunt 1-0-1=0 numere naturale;
Între 1 şi 4 sunt 4-1-1=2 numere naturale;
Între 4 şi 9 sunt 9-4-1=4 numere naturale;
Între 9 şi 16 sunt 16-9-1=6 numere naturale;
Între 16 şi 25 sunt 25-16-1=8 numere naturale;
Între 25 şi 36 sunt 36-25-1=10 numere naturale;
Între 36 şi 49 sunt 49-36-1=12 numere naturale;


Se observă că rezultatele obţinute sunt numere pare consecutive. Reluăm încă o dată ceea ce am scris mai sus cu deosebirea că vom scrie pătratele perfecte sub formă de puteri cu exponentul 2:


Între 02 şi 12 sunt 0 numere naturale, adică 2∙0;
Între 12 şi 22 sunt 2 numere naturale, adică 2∙1;
Între 22 şi 32 sunt 4 numere naturale, adică 2∙2;
Între 32 şi 42 sunt 6 numere naturale, adică 2∙3;
Între 42 şi 52 sunt 8 numere naturale, adică 2∙4;
Între 52 şi 62 sunt 10 numere naturale, adică 2∙5;
Între 62 şi 72 sunt 12 numere naturale, adică 2∙6;

Generalizând, putem spune că între n2 şi (n+1)2 există 2∙n numere naturale, unde „n” este număr natural oarecare.

 

Exercitii

Exercitiul 1

Aflaţi 2 numere naturale pătrate perfecte ştiind că sunt numere naturale pătrate perfecte consecutive şi între ele există 60 de numere naturale.

Rezolvare
Fie n2 şi (n+1)2 cele două numere naturale pătrate perfecte consecutive, unde
n este un număr natural oarecare.

Avem relaţia: 2∙n=60 => n=30.

Deci, cele două numere naturale pătrate perfecte consecutive sunt 302 şi 312.

Forum

Ai nevoie de ajutor la matematica? Pune o întrebare!

la Aritmetica

la Algebra

la Geometrie

despre Examene

sau despre altceva

 
 
 

Noutăţi

Ultimele pagini adăugate

Calculul ariei unui patrulater convex

Teorema transversalei

 

Aplicaţii pe mobil

Descompune în factori primi
Numere Prime

 
 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'

Site partener:
www.mathematicshelp.org