Structura topologică pe dreapta reală

Vecinătăți. Mulțimi deschise

Definiție. Fie x0 ∈ R. Numim vecinătate a lui x0 orice multime  de numere reale V care conține un interval deschis (a,b) a.î. x0 ∈ (a, b) ⊂ V.

De fapt, oricare ar fi intervalul (a, b) cu proprietatea că x0  (a, b) este o vecinătate a lui x0.

Definiție. Pentru α > 0, vecinătățile de forma: (x0 - α, x0 + α) se numesc vecinătăți simetrice ale lui x0 R.

Propoziție. 1) Dacă V este o vecinătate a lui x0 și V⊆U⊆R, atunci U este o vecinătate a lui x0.

2) Dacă V1 și V2 sunt vecinătăți ale lui x0, atunci V = V1 ∩ V2 este o vecinătate a lui x0.

3) Dacă V este o vecinătate a lui x0, atunci x0 V.

4) Dacă V este o vecinătate a lui x0, atunci există o vecinătate W  a lui x0 astfel încât V este o vecinătate pentru fiecare punct x W.

Stabilirea vecinătăților fiecărui punct x∈R corespunde unei structuri numită topologie de dreaptă.

O proprietate deosebită de care se bucură structura topologică pe dreaptă este numita proprietate de separare a punctelor, stabilită de Hausdorff.

Propoziție. Pentru orice două numere x, y R, x ≠ y, există vecinătățile Vx pentu x și Vy pentru y, astfel încât Vx ∩ Vy = ∅.

Extrapolând, putem defini vecinătățile lui -∞ și + ∞. Definim:

(a, ∞] = (a, ∞) U {∞}

si

[-∞, a) = {-∞} U (-∞, a)

 

Definiție. Orice mulțime din R, V care conține intervale deschise și nemărginite de forma (a, ∞], respectiv [-∞, a) se va numi vecinătate  a lui ∞, respectiv -∞.

Definiție. Un punct x R se numește punct interior al mulțimii A⊂R, dacă există o vecinătate V=(a,b) a lui x0 astfel încât x0 (a, b)A.

Notând cu Int A - interiorul mulțimii A are loc incluziunea

Int A A.

Definiție. O mulțime de numere reale care este egală cu interiorul său se numește deschisă.

Proprietăți ale mulțimilor deschise.

Teoremă. 1) Dacă Gk sunt mulțimi deschise, (∀) k{1, 2, ...., n}, atunci mulțimea Open sets este deschisă.

2) Dacă Gk sunt mulțimi deschise, (∀) k∈L (unde L este o familie de indici oarecare) atunci multimea este deschisă.

3) R și ∅ sunt mulțimi deschise.

 

Observație. Un interval (a, b) este o mulțime deschisă deoarece orice punct x0  (a, b) este punct interior al său.

Forum

Ai nevoie de ajutor la matematica? Pune o întrebare!

la Aritmetica

la Algebra

la Geometrie

despre Examene

sau despre altceva

 
 
 

Noutăţi

Ultimele pagini adăugate

Calculul ariei unui patrulater convex

Teorema transversalei

 

Aplicaţii pe mobil

Descompune în factori primi
Numere Prime

 
 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'

Site partener:
www.mathematicshelp.org