Structura topologică pe dreapta reală

Vecinătăți. Mulțimi deschise

Definiție. Fie x0 ∈ R. Numim vecinătate a lui x0 orice multime  de numere reale V care conține un interval deschis (a,b) a.î. x0 ∈ (a, b) ⊂ V.

De fapt, oricare ar fi intervalul (a, b) cu proprietatea că x0  (a, b) este o vecinătate a lui x0.

Definiție. Pentru α > 0, vecinătățile de forma: (x0 - α, x0 + α) se numesc vecinătăți simetrice ale lui x0 R.

Propoziție. 1) Dacă V este o vecinătate a lui x0 și V⊆U⊆R, atunci U este o vecinătate a lui x0.

2) Dacă V1 și V2 sunt vecinătăți ale lui x0, atunci V = V1 ∩ V2 este o vecinătate a lui x0.

3) Dacă V este o vecinătate a lui x0, atunci x0 V.

4) Dacă V este o vecinătate a lui x0, atunci există o vecinătate W  a lui x0 astfel încât V este o vecinătate pentru fiecare punct x W.

Stabilirea vecinătăților fiecărui punct x∈R corespunde unei structuri numită topologie de dreaptă.

O proprietate deosebită de care se bucură structura topologică pe dreaptă este numita proprietate de separare a punctelor, stabilită de Hausdorff.

Propoziție. Pentru orice două numere x, y R, x ≠ y, există vecinătățile Vx pentu x și Vy pentru y, astfel încât Vx ∩ Vy = ∅.

Extrapolând, putem defini vecinătățile lui -∞ și + ∞. Definim:

(a, ∞] = (a, ∞) U {∞}

si

[-∞, a) = {-∞} U (-∞, a)

 

Definiție. Orice mulțime din R, V care conține intervale deschise și nemărginite de forma (a, ∞], respectiv [-∞, a) se va numi vecinătate  a lui ∞, respectiv -∞.

Definiție. Un punct x R se numește punct interior al mulțimii A⊂R, dacă există o vecinătate V=(a,b) a lui x0 astfel încât x0 (a, b)A.

Notând cu Int A - interiorul mulțimii A are loc incluziunea

Int A A.

Definiție. O mulțime de numere reale care este egală cu interiorul său se numește deschisă.

Proprietăți ale mulțimilor deschise.

Teoremă. 1) Dacă Gk sunt mulțimi deschise, (∀) k{1, 2, ...., n}, atunci mulțimea Open sets este deschisă.

2) Dacă Gk sunt mulțimi deschise, (∀) k∈L (unde L este o familie de indici oarecare) atunci multimea este deschisă.

3) R și ∅ sunt mulțimi deschise.

 

Observație. Un interval (a, b) este o mulțime deschisă deoarece orice punct x0  (a, b) este punct interior al său.

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'

 

Avem nevoie de o donaţie mică