Teorema transversalei

Teoreme celebre din geometria plană

Teoremă. Fie triunghiul ABC și punctele D ∈ (BC), M ∈ (AB), N ∈ (AC) și {P} = MN ∩ AD. Atunci are loc relația

Teorema transversalei

Demonstrație:

Considerăm figura

triunghi abc, teorema transversalei

Avem două cazuri:

Cazul 1. (care este banal)

Cazul 2. MN neparalel BC

Construim d || BC, A ∈ d și considerăm {X} = MN ∩ BC si {Y} = d ∩ MN

Pentru că d || BC avem, conform Teoremei fundamentale a asemănării,

triunghiuri asemenea

asemanare

asemanare

 Apoi avem:

 teorematransversalei

teorematransversalei

teorematransversalei

teorematransversalei

teorematransversalei

teorematransversalei

 teorematransversalei

 

Observație

Dacă P este centrul de greutate al triunghiului avem

  • D - mijlocul lui BC => BD = DC = BC / 2
  • PD = 2 AD / 3 => PA = 2 • PD, adică:

 

Deci, expresia

devine

frac{1}{2}cdot BC = frac{MB}{MA}cdot frac{BC}{2}+ frac{NC}{NA}cdot frac{BC}{2}

1=frac{MB}{MA}+frac{NC}{NA}

Aceasta înseamnă că pentru P - centru de greutate al triunghiului ABC, Teorema transversalei se transforma in

1=frac{MB}{MA}+frac{NC}{NA}

 

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'

 

Avem nevoie de o donaţie mică