Teorema lui Menelaus

Teoreme celebre din geometria plană

Teorema lui Menelaus. Fie triunghiul ABC și punctele M, N, P situate pe dreptele BC, CA, respectiv AB, diferite de A, B, C.

Dacă punctele M, N, P sunt coliniare, atunci are loc relația:

Teorema lui Menelaos. Formula

 

Demonstrație. Avem două posibile situații:

  • două dintre punctele M, N, P se află pe laturile triunghiului, iar al treilea pe prelungirea celei de a treia laturi (așa ca în prima dintre figurile de mai jos);
  • toate cele trei puncte se află pe prelungirile laturilor triunghiului ABC (așa ca în cea de a doua figură).

Figura demonstratie Teorema lui menelaus

Vom face demonstrația doar pentru prima situație. Cea de a doua se rezolvă la fel.

Ducem CS || BA, S ∈ MP.

În triunghiul MBP cu CS || BP, conform Teoremei Fundamentale a Asemănării, avem:

TRIUNGHIURI ASEMENEA, laturi proportionale

La fel, conform Teoremei Fundamentale a Asemănării, în triunghiul CNS, cu CS | | AP, avem:

triunghiuri asemenea, sir de rapoarte egale

Înmulțim membru cu membru egalitățile de mai sus și obținem:

menelaus_demonstratie

și rezultă

menelaus

Deci, teorema este demonstrată.

 

Observație. Punctele coliniare M, N, P de mai sus se numesc noduri. Dreapta determinată de ele se numește transversală și se notează M - N - P.

Forum

Ai nevoie de ajutor la matematica? Pune o întrebare!

la Aritmetica

la Algebra

la Geometrie

despre Examene

sau despre altceva

 

Noutăţi

Ultimele pagini adăugate

Calculul ariei unui patrulater convex

Teorema transversalei

 

Aplicaţii pe mobil

Descompune în factori primi
Numere Prime

 
 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'

Site partener:
www.mathematicshelp.org