Teorema lui Menelaus

Teoreme celebre din geometria plană

Teorema lui Menelaus. Fie triunghiul ABC și punctele M, N, P situate pe dreptele BC, CA, respectiv AB, diferite de A, B, C.

Dacă punctele M, N, P sunt coliniare, atunci are loc relația:

Teorema lui Menelaos. Formula

 

Demonstrație. Avem două posibile situații:

  • două dintre punctele M, N, P se află pe laturile triunghiului, iar al treilea pe prelungirea celei de a treia laturi (așa ca în prima dintre figurile de mai jos);
  • toate cele trei puncte se află pe prelungirile laturilor triunghiului ABC (așa ca în cea de a doua figură).

Figura demonstratie Teorema lui menelaus

Vom face demonstrația doar pentru prima situație. Cea de a doua se rezolvă la fel.

Ducem CS || BA, S ∈ MP.

În triunghiul MBP cu CS || BP, conform Teoremei Fundamentale a Asemănării, avem:

TRIUNGHIURI ASEMENEA, laturi proportionale

La fel, conform Teoremei Fundamentale a Asemănării, în triunghiul CNS, cu CS | | AP, avem:

triunghiuri asemenea, sir de rapoarte egale

Înmulțim membru cu membru egalitățile de mai sus și obținem:

menelaus_demonstratie

și rezultă

menelaus

Deci, teorema este demonstrată.

 

Observație. Punctele coliniare M, N, P de mai sus se numesc noduri. Dreapta determinată de ele se numește transversală și se notează M - N - P.

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'

 

Avem nevoie de o donaţie mică