Regula lui l'Hôpital

Limite de funcții

Regula lui l'Hôpital este o regulă care se aplică la calcularea limitelor de funcții pentru cazurile în care acestea conțin o nedeterminare de genul 0/0 sau ∞/∞.

Enunț. Dacă funcțiile $$f,g:I->\mathbb{R}$$ sunt continue pe [a, b] si derivabile pe (a,b) si exista c∈(a, b) astfel incat sa indeplineasca aceste conditii:

$$ \lim_{x->c}f(x)=\lim_{x->c}g(x)=0 $$ sau $$ \lim_{x->c}f(x)=\lim_{x->c}g(x)=\pm \infty $$

$$\lim_{x->c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ exista, si

$$g'(x)\neq 0 $$ pentru orice x ∈I cu proprietatea ca x ≠ c, atunci

$$ \lim_{x->c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x->c}\frac{f'(x)}{g'(x)}. $$

 

Aplicatii. Uneori putem avea cazul ∞ - ∞.

Procedam in felul urmator. Avem de calculat $$\lim_{x->c}{(f(x)-g(x))}$$

Facem transformarea $$f(x)-g(x)=f(x)g(x)\left ( \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)} \right )$$ si ajungem la cazul $$ 0\cdot \infty $$.

De exemplu, pentru cazul particular

$$\lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{sin \: x}\right )= \lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{sin\, x - x}{x\cdot sin\, x} \right )= \lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{cos\, x - 1}{sin\, x+x\cdot cos\, x} \right )= $$

$$ = \lim_{x\rightarrow 0}\left ( \frac{-sin\, x }{2cos\, x-x\cdot sin\, x} \right )=0 $$

Forum

Ai nevoie de ajutor la matematica? Pune o întrebare!

la Aritmetica

la Algebra

la Geometrie

despre Examene

sau despre altceva

 

Noutăţi

Ultimele pagini adăugate

Calculul ariei unui patrulater convex

Teorema transversalei

 

Aplicaţii pe mobil

Descompune în factori primi
Numere Prime

 
 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'

Site partener:
www.mathematicshelp.org