Formule Algebra

Media aritmetică și geometrică, puteri, Ecuația de gradul I și ecuația de gradul al II-lea

Alte formule

Media aritmetică:

$M_{a} = \frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n}$

Media geometrică (proporțională):

$M_{g} = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}}$

Media aritmetică ponderată:

$M_{p} = \frac{a_{1} \cdot p_{1} + a_{2} \cdot p_{2} + . . . + a_{n} \cdot p_{n}}{p_{1} + p_{2} + . . . + p_{n}},$

unde $a_{1}, a_{2}, . . . ., a_{n}$ reprezintă numerele, cu ponderile $p_{1}, p_{2}, . . . ., p_{n} .$

Puteri:

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} {(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n} a^{0} = 1, dacă a \neq 0 a^{m} : a^{n} = a^{m - n} {(a \cdot b)}^{n} = a^{n} \cdot b^{n} 0^{m} = 0, (\forall) m 1^{n} = 1, (\forall) n$

Formule de calcul prescurtat:

$a (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c$
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a$
$(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$
$(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$
${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

Ecuația de gradul I:

O ecuație de gradul I are forma: $a x + b = 0$ . Soluția acestei ecuații este $x = - \frac{b}{a}$ , cu $a \neq 0$ . Dacă $a = 0$ și $b \neq 0$ , soluția este mulțimea vidă. Altfel, adică dacă $a = 0$ și $b = 0$ , soluția este întreaga mulțime de definiție.

Ecuația de gradul al II-lea:

Forma canonică a unei ecuații de gradul al II-lea este: $a x^{2} + b x + c = 0 .$ Etapele rezolvării acestei ecuații sunt:

1. Calcularea discriminantului:

$Δ = b^{2} - 4 a c$

2. Discutarea discriminantului:

- Dacă $Δ < 0$ ecuația nu are soluții reale.

- Dacă $Δ = 0$ ecuația are o singură (dublă) soluție reală.

- Dacă $Δ > 0$ ecuația are două soluții reale (distincte).

3. Calcularea soluțiilor:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$

Relaţiile lui Viète

$S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$

$P = x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Ecuația de gradul al doilea se mai poate scrie și sub forma $x^{2} - S x + P = 0 .$

Relaţii între rădăcinile ecuaţiei de gradul al doilea

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = S^{2} - 2 P$
${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = S^{3} - 3 S P$

${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = {(x_{1} + x_{2})}^{4} - 2 {x_{1}}^{2} {x_{2}}^{2} = S^{4} - 2 P^{2}$

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2}} + \frac{x_{1}}{x_{1} \cdot x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} \cdot x_{2}} = \frac{S}{P}$

_________________________________

Forum

Noutăţi

Daca vrei să ne dai o idee scrie-ne la opinii@mateonline.net

Îţi mulţumim!'