Formule Algebră

Progresii aritmetice şi progresii geometrice

Progresii aritmetice şi progresii geometrice

Progresii aritmetice

Definiția. Șirul de numere ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbf{N}}$ se numește progresie aritmetică, dacă există un număr real $d$, numit rația progresiei, astfel încât

$a_{n+1}-a_n=d, (n\in \mathbf{N})$

adică dacă fiecare termen al șirului (începând cu al doilea) este egal cu precedentul plus unul și același număr (rația).

Elementul $a_n$ se numește termen general al progresiei sau termen de rang n.

Progresiile aritmetice sunt de forma $a_1, a_2, ...., a_n$ sau $a_1, a_1+r, a_1+2r, ...., a_1+(n-1)r$, unde:

•   »   n este numărul de elemente din progresie,
•   »   $a_k=a_1+(k-1)r,$pentru toţi $k$ între $1$ şi $n$, numită şi formula generală a termenului unei progresii aritmetice.
•   »   $r$ este raţia: $r=a_k-a_{k-1}$ numită şi formula de recurenţă.
•   »   Suma primelor $n$ numere dintr-o progresie aritmetică finită se poate calcula astfel:

$S_n = \frac{(a_1+a_n)·n}{2} = \frac{(2·a_1+(n-1)·r)·n}{2}$.

•   »   Exemplu:  $-1, 2, 5, 8, ...$cu $r=3 \mathrm{și} a_1=-1.$

Progresii geometrice

Definiția. Șirul de numere ${\left(b_n\right)}_{n\in \mathbf{N}}$ se numește progresie geometrică, dacă exista un număr $q$, numit rația progresiei, astfel încât

$b_{n+1}=b_n·q, (n\in \mathbf{N})$

adică dacă fiecare termen al șirului (începând cu al doilea) este egal cu produsul dintre termenul precedent și unul și același număr (rația).

Elementul $b_n$ se numește termen general al progresiei de rang $n$.

Exemple: $1, 2, 4, 8, ..., 2^n, ... \mathrm{cu} b_1=1 \mathrm{și} q = 2,$ 
$5, 15, 45, ... \mathrm{cu} b_1=5 \mathrm{și} q=3.$

Termenul de rang $n$al progresiei geometrice se determină prin formula

$b_n = b_1·q^{n-1}, (n\in \mathbf{N}).$

Pătratul termenului de rang n este egal cu produsul termenilor echidistanți de el:

${b_n}^2 = b_{n-k}·b_{n+k}, (n\ge 2, k=1, 2, ..., n-1).$

În caz particular, pentru orice trei termeni consecutivi

${b_n}^2 = b_{n-1}·b_{n+1}.$

Dacă $k+n = m+p (k, n, m, p \in \mathbf{N}),$atunci

$b_k·b_n = b_m·b_p,$

unde $b_k, b_n, b_m, b_p$- termeni ai progresiei geometrice $b_1, b_2, ... .$

Numerele $a, b, c$formează o progresie geometrică (în ordinea indicată) dacă și numai dacă

$b^2 = ac.$

Suma primilor $n$ termeni $S_n$ ai unei progresii geometrice se determină prin formula

$S_n = \frac{b_1 - b_{n}q}{1-q}, (q\ne 1),$

unde $b_1$ - primul termen,  $q$ - rația, și $b_n$ - termenul general al progresiei geometrice.