Formule Algebră

Combinatorică: Permutări, Aranjamente. Combinări. Binomul lui Newton

Permutări

$P_n = n!$

Formula de recurență a permutărilor: 

$P_n = n! = n(n-1)! = n·P_{n-1}, \forall n\in \mathbf{N}\mathbf{*}$

Aranjamente

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, 

sau 

$A_n^p = n(n-1) ... (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}.$

Formula de recurență a aranjamentelor: 

 $A_n^p = (n- p + 1)A_n^{p-1}, \forall p >1.$

Combinări

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, 

sau

$C_n^p = \frac{A_n^p}{P_p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}, \mathrm{cu} 0\le p\le n.$

Formula de recurență a combinărilor: 

$C_n^p = C_{n-1}^p + C_{n-1}^{p-1}.$

Demonstrație: 

$$\begin{gathered} C_n^p = \frac{n!}{(n-p)! p!} = \frac{(n-1)!}{(n-p)! p!}·n = \\ = \frac{(n-1)! }{(n-p)! p!} ·(n-p+p) = \frac{(n-1)! (n-p)}{(n - p)! p!} + \frac{(n-1)! p}{(n - p)! p!} = \\ = \frac{(n -1)!}{(n-p-1)! p!} + \frac{(n-1)!}{(n-p)! (p-1)!} = C_{n-1}^p + C_{n-1}^{p-1}. \end{gathered}$$

Formula combinărilor complementare: 

$C_n^p = C_n^{n-p}.$

Binomul lui Newton

Formula Binomului lui Newton este:

${(a+b)}^n = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

și

${(a-b)}^n = \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{(-1)}^k{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

Termenul general al dezvoltării binomului lui Newton: 

 $T_{k+1} = C_n^k{a}^{n-k}{b}^k.$

Observăm că,

Găsirea rangului celui mai mare termen din dezvoltarea ${(a + b)}^n$ se face după formula 

  $k = \left[\frac{b(n + 2) + a}{a + b}\right].$

Observație. Pentru o mulțime cu  $n$ elemente, numărul de submulțimi cu $k$ elemente este egal cu $C_n^k.$

Pentru $a = b = 1$, avem

$\sum _{k=0}^n{C}_n^k = 2.$

Observație. Numărul de submulțimi ale unei mulțimi cu $n$ elemente este $2^n.$