Formule Algebră

Matrici. Determinanți

Ce este o matrice?

O matrice este un tabel dreptunghiular de numere.   
 

Exemplu:  $\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 45& 1\\ 2& -9\end{array}\right)$. Putem defini o matrice astfel:

Fie  $M=\left\{1, 2, 3, ..., m\right\}$ și  $N=\left\{1, 2, 3, ..., n\right\}$. $A: M \times N -> \mathbf{R}, A(i,j) = a_{i,j}$ se numește matrice de tipul $(m, n)$, cu $m$ linii și $n$ coloane.

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right)$.

O matrice care are o dimensiune egală cu 1 se numește vector. 

O matrice $A[1,n]$ (o linie și $n$ coloane) se numește vector linie, iar o  matrice $B[m, 1]$ (o coloană și $m$ linii) se numește vector coloană.  
 

Exemple:

1.   $\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 3\\ 0& 5& 2\\ 12& -3& 5\\ 7& 0& 11\end{array}\right)$  
Aceasta este o matrice de tipul $4 \times 3.$ Elementul $A[3, 1]$ sau $a_{3,1}$ este $12.$

2.   $\left(\begin{array}{ccccccc}1& -3& 0& 8& 12& 45& 0\end{array}\right)$

Aceasta este o matrice de tipul $(1, 7)$  sau vector linie.

O matrice $A(m, n)$ care are $m=n$ se numește matrice pătratică. Deci, o matrice pătratică este matricea care are numărul de linii egal cu numărul de coloane.

Adunarea matricilor

Dacă $A$ și $B$ sunt două matrici de tipul $m \times n$, atunci $C=A+B$, unde $c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}$ este suma lor (unde $1\le i\le m, 1\le j\le n$).  
 

Exemplu:

$\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 3& 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 8\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0+1& 2+8\\ 3+0& 5+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 10\\ 3& 10\end{array}\right)$

Înmulțirea cu un scalar

Dându-se matricea $A$ şi scalarul (constanta) $c$, avem matricea $B = cA$, unde $b_{i,j} = c·a_{i,j}$ care este produsul dintre matricea $A$ și scalarul $c$.  De exemplu,

$3·\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 7\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}3·0& 3·3\\ 3·2& 3·7\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}0& 9\\ 6& 21\end{array}\right)$

Înmulțirea matricilor

Fie $A$ o matrice de tip $m \times n$ și $B$ o matrice de tip $n \times p$. Atunci, produsul lor este $C=AB$ o matrice de tip $m \times p$, cu  
$c_{i,j}=a_{i,1}·b_{1,j}+a_{i,2}·b_{2,j}+...+a_{i,n}·b_{1,n}.$  
 

De exemplu,

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 4& 5\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 3\\ 0& -1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1·1+2·5+1·0& 1·2+2·3+1·(-1)\\ 3·1+4·5+5·0& 3·2+4·3+5·(-1)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}11& 7\\ 23& 13\end{array}\right)$

Proprietățile înmulţirii matricilor

1. $\left(A·B\right)·C = A·\left(B·C\right)$ - asociativitate  
2. $A·I_n = I_n·A = A$ - element neutru, unde $I_n$  este matricea unitate definită astfel   
              $I_n = \left(\begin{array}{cccc}1& 0& ...& 0\\ 0& 1& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& 1\end{array}\right)\in M_n\left(\mathbf{C}\right)$.
3. $\left(A+B\right)·C = A·C + B·C$
4. $A·\left(B + C\right) = A·B + A·C$ - distributivitate.

O matrice pătratică $A$, de ordin $n$, este inversabilă (sau nesingulară) dacă există o matrice pătratică $B$, de ordin $n$,  astfel încât, să avem

  $AB = I_n = BA$

În acest caz, matricea $B$ se numește inversa matricii $A$, și se notează cu $A^{-1}$. 

Determinanţi

Definiție. Fie matricea    $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right)\in M_{\mathbf{n}}\mathbf{\left(}\mathbf{C}\mathbf{\right)}$. Se numește determinantul matricei $A$, numărul

$det\mathit{ }\mathrm{A} = \sum _{\mathrm{\sigma }\in {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}}\mathrm{\epsilon }\left(\mathrm{\sigma }\right){\mathrm{a}}_{1\mathrm{\sigma }\left(1\right)}{\mathrm{a}}_{2\mathrm{\sigma }\left(2\right)}...{\mathrm{a}}_{\mathrm{n\sigma }\left(\mathrm{n}\right)}.$
                          

Se notează    

$det\mathit{ }\mathrm{A} = \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|.$

Pagină actualizată pe 06 aprilie 2022.