Formule Geometrie

Geometrie plană (triunghi, paralelogram, dreptunghi, patrat, trapez), geometrie în spațiu (formule suprafețe corpuri)

 

Geometrie plană

 

Triunghiul

Triunghi

Perimetrul = suma tuturor laturilor, adică:

     
PΔABC=AB + BC + CA

 

Aria triunghiului = (înălțimea x baza)/2, adică: 

AΔ = b·h2

      
       
În cazul nostru, b=BCh = AD. Deci,       
 

AΔABC = BC·AD2

 

 

 

Paralelogramul     
 

 

Paralelogram

Perimetrul = suma tuturor laturilor, adică: 

P = AB+BC+CD+DA      
 

Deoarece laturile opuse ale paralelogramului sunt congruente (egale), perimetrul poate fi calculat astfel 
P=2(AB+BC).

Aria paralelogramului = baza x înălțimea, adică

Aparalelogram=b·h, iar în cazul nostru,       
AABCD = DC·AM, pentru că b=DC, h=AM.

 

 

 

Dreptunghiul       
 

 

Dreptunghiul are lungime (not. L = AB) și lățime (not. l = BC).


Perimetrul = suma tuturor laturilor, adică:       
P = AB + BC + CD + DA sau

P = 2(L + l).

Aria dreptunghiului = lungimea x lățimea

Adreptunghi = L · l.

În cazul nostru avem: 

AABCD = AB · BC.

 

 

Pătratul       
 

Pătratul este un dreptunghi care are toate laturile egale (congruente), sau lungimea egală cu lățimea.       
Perimetrul = suma tuturor laturilor, adică:
P = AB + BC + CD + DA sau 

P = 4L, unde L este latura pătratului (AB = BC = CD = DA = L).       
 

Aria pătratului = latura x latura = latura2, adică 

Apătrat = L2.


În cazul nostru avem, 

AABCD = AB2.

 

Trapezul       
 

Perimetrul = suma tuturor laturilor, adică:
P = AB + BC + CD + DA.

Aria trapezului = (baza mare + baza mică) x înălțimea/2, adică 

Atrapez = B + b·h2, iar în cazul nostru       
AABCD = DC + AB·AM2, pentru că
DC = B (baza mare)       
AB = b (baza mică), iar       
AM = h (înălțimea).

 

Cercul       
 

Avem OA - raza (not. r       
Lungimea cercului (circumferința cercului):        
           

Lcerc = 2πr


Aria cercului (corect ar fi aria discului):

Acerc = π·r2
    

 

Geometrie în spaţiu

 

Corpuri - Poliedre

Piramida 
 

Vom discuta doar de corpuri regulate, deci și piramida din acest caz este regulată.
 

Avem: AB - muchia bazei (not. m)
VA - muchia laterală (not. l)
VO - înălțimea piramidei (not. h)       
VM - apotema laterală sau apotema piramidei (not. ap) 
OM - apotema bazei (not. ab).
 

Aria laterală = suma ariilor fețelor laterale
 

Alaterală = Pb  · ap2


Aria bazei

Abazei = Pb  · ab2,

unde Pb este perimetrul bazei.
 

Aria totală = aria bazei + aria laterală

Atotală = Abazei + Alaterală

Volumul

Vpiramidă = Abazei · h3.


Tetraedrul poate fi considerat o piramidă care are ca bază un triunghi, aria și volumul calculându-se analog.

 

 

Paralelipipedul dreptunghic, cubul, prisma 
 

 

Avem: 

AB - Lungime (not. L)
BC - lățime (not. l)       
AE - înălțimea sau muchia laterală (not. h)     

 

Aria laterală =  suma ariilor fețelor laterale

Alaterală = Pb·h,

unde Pb este perimetrul bazei, sau

Alaterală = 2L + l·h

Aria bazei

    Abazei =L ·l.


Aria totală = aria bazei + aria laterală

 

Volumul

Vparalelipiped = Abazei · h 

sau
Vparalelipiped = L · l · h.

 

Paralelipipedul dreptunghic este un caz particular de prismă, iar cubul este un caz particular de paralelipiped dreptunghic, în sensul că este un paralelipiped cu toate laturile congruente. De aceea nu amintim nimic despre ele aici. 

 

 

Trunchiul de piramidă       
 


Avem: AB - Muchia bazei mari
A'B' - Muchia bazei mici
OO' - Înălțime (not. h)
AA' - Muchia laterală
OM - Apotema bazei mari (not. aB)    
O'M' - Apotema bazei mici (not. ab)
MM' - Apotema trunchiului de piramidă (not. at)
 

Aria laterală = suma ariilor fețelor laterale

Alaterală = PB + Pbat2,

unde Pb este perimetrul bazei mici, iar PB este perimetrul bazei mari. 

Ariile bazelor se calculează în funcție de natura bazelor (triunghi, patrulater etc.), iar la piramida regulată se mai pot calcula și cu ajutorul formulelor:

Ab = Pb · ab

AB = PB · aB.

Aria totală = aria bazei mari + aria bazei mici + aria laterală.

At = AB +  Ab + Alaterală.

Volumul

Vtrunchi_de_piramidă = h3AB + Ab + AB·Ab.

 

Corpuri - Corpuri rotunde

Cilindrul       
 


Avem:
AA' - generatoare (not. g)
OO' - înălțimea cilindrului (not. h; în cazul nostru, la cilidrul circular drept, avem g = h)
AO - raza bazei (not. r)
 

Aria bazei = aria cercului de la bază, adică:

Abază = π·r2


Aria laterală:

Alaterală = 2π·rg

        
Aria totală:

At = 2π·rr + g

        
Volumul cilindrului:

V = π·r2g

 

Conul       
 


Avem:        
VA - generatoare (not. g)
VO - inaltimea conului (not. h)
AO - raza bazei (not. r)


Aria bazei = aria cercului de la bază, adică:

Abază = π·r2

Aria laterală:

Alaterală = π·rg

Aria totală:

At = π·rr + g

Volumul conului:

V = π·r2h3.

 

Trunchiul de con       
 

Avem:        
AA' - generatoare (not. G)
OO' - înălțimea trunchiului de con (not. h)
AO - raza bazei mari (not. R)
A'O' - raza bazei mici (not. r)


Aria laterală:

Alaterală = π·gR + r

Aria totală:

At = Al + Ab +AB.

Volumul:

V = πh3R2 + r2 + R·r.

 

Sfera       
 

Avem:
OA - rază (not. r)


Aria sferei:

Asfera = 4π·r2.

Volumul sferei:

Vsfera = 4π·r33.

 

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'