Trigonometrie

Ecuații trigonometrice

Ecuatiile trigonometrice sunt acele ecuatii în care necunoscuta se află în componenţa argumentelor unor funcţii trigonometrice.

Ecuaţiile trigonometrice sunt ecuaţii transcendente. Adică, se determină o soluţi eparticulară şi apoi se scrie soluţia generală care se exprima în funcţie de un parametru şi de perioada funcţiei trigonometrice respective.

A.     Ecuaţii trigonometrice elementare

1.      

2.      

3.      

4.      

B.     Ecuatii de forma f(g(x)) = f(h(x)):

1.      

2.      

3.      

4.      

C.     Ecuaţii trigonometrice care se rezolvă cu ajutorul unor ecuaţii algebrice

1.      

2.      

3.      

4.      

Ecuaţiile de acest tip se reduc la rezolvarea ecuaţiei  şi la rezolvarea uneia sau mai a două ecuaţii trigonometrice elementare după efectuarea uneia din notaţiile: sin x = t, cos  x = t, tg x = t, ctg x = t.

5.        Folosind formula cos 2x = 1- 2 sin² x se obtine o ecuatie de tipul 1.

6.        Pentru ca  deoarece  , se obtine ecuatia  , adica o ecuatie de tipul 3.

D.    Ecuaţii trigonometrice liniare in sin şi cos de forma: a sin x + b cos x + c = 0, cu a şi b diferite de zero

Metoda 1.

Verificăm dacă ecuaţia are soluţii de forma: .

Se noteaza .

Avem formulele

Si astfel, se formeaza ecuatia , cu conditia .

Metoda 2.

Facem notatiile ,  şi rezolvăm sistemul de ecuaţii

Metoda 3.

Facem notatia  şi obţinem

Ecuatia are solutii daca a²+b²>=c².

E.     Ecuaţii omogene în sin şi cos

Ecuatiile omogene sunt de forma:

    unde

Împărţim prin cosⁿx şi obţinem:

Si daca facem notatia tgx = y obtinem:

F.      Ecuaţii simetrice în sin şi cos:

1.      

Avem 3 metode de rezolvare:

Metoda 1. Notez   si ma folosesc de formulele , .

Metoda a 2-a. Notez   si obtin ecuatia  care se rezolva in conditia  .

Metoda a 3-a. Notez  si  ecuatia devine

G.    Alte tipuri de ecuatii

1.      

Ridicam identitatea  la puterile n, n-1, …., 3,2

Apoi notam sin 2x = t si obtinem o ecuatiede gradul n in t.

2.       Ecuatiile de forma

.

Folosim formulele

,

3.       Ecuatii care contin produse de forma:

Transformam produsele in sume sau diferente de sinusuri sau cosinusuri.