Analiză matematică

Formule de derivare, integrale, primitive, formule volum corpuri de rotație

Formule de derivare - tabel al derivatelor unor funcţii elementare

$$\begin{gathered} c\text{'} = 0 \\ x\text{'} = 1 \\ \left(x^n\right)\text{'} = n{x}^{n-1} \\ \left(\sqrt{x}\right)\text{'} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ (\ln x)\text{'} = \frac{1}{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(e^x\right)\text{'} = e^x \\ \left(a^x\right)\text{'} = a^x \ln \left(a\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (\sin x)\text{'} = \cos x \\ (\cos x)\text{'} = -\sin x \\ (\mathrm{tg} x)\text{'} = \frac{1}{{\cos }^{2}x} \\ (\mathrm{ctg} x)\text{'} = -\frac{1}{{\sin }^{2}x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} (arc\sin x)\text{'} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (arc\cos x)\text{'} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\mathrm{arctg} x)\text{'} = \frac{1}{1+x^2} \\ (\mathrm{arcctg} x)\text{'} = -\frac{1}{1+x^2} \end{gathered}$$

Reguli de derivare

Formule integrale - tabel primitive uzuale

${\int }_{ }{x}^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c$

${\int }_{ }{a}^{x}dx = \frac{a^x}{\ln a}+c$

${\int }_{ }\frac{1}{x}dx = \ln \left|x\right| +c = \left\{\begin{array}{ll}\ln x,& x>0\\ \ln (-x), & x\le 0\end{array}+c\right.$

${\int }_{ }\frac{1}{x^2-a^2}dx = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+c$

$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx = \frac{1}{a}\text{ arctg} \frac{x}{a}+c$

${\int }_{ }\sin xdx = -\cos x+c$

${\int }_{ }\cos x dx = \sin x+c$

${\int }_{ }\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx = \mathrm{tg} x + c$

$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx = -\mathrm{ctg} x+c$

${\int }_{ }\mathrm{tg} x dx = -\ln |\cos x|+c$

$\int \mathrm{ctg} xdx = \ln |\sin x|+c$

${\int }_{ }\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx =\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+c$

${\int }_{ }\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx =\ln |x+\sqrt{x^2-a^2} |+c$

${\int }_{ }\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx =arc\sin \frac{x}{a}+c$

Integrarea prin părţi

Dacă  $f, g: I\to \mathit{R}$ sunt funcţii derivabile cu derivate continue, atunci funcţiile $fg, f\text{'}g \text{și }fg\text{'}$ admit primitive şi mulţimile lor de primitive sunt legate prin formula

${\int }_{ }^{ }f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)dx = f\left(x\right)g\left(x\right) - {\int }_{ }^{ }f\text{'}\left(x\right)g\left(x\right)dx.$

Schimbarea de variabilă

      Fie $I, J$ două intervale din $\mathit{R}$ şi fie $\phi \text{și} f$ două funcţii  $\phi :I\to J, g:J\to \mathit{R}$ cu proprietăţile

         1. $\phi$ este derivabilă pe $I$;    
         2. $g$ admite primitive (fie $G$ o primitivă a sa).    
     Atunci funcţia $(g \circ \phi )·\phi \text{'}$ admite primitive pe $I$, iar funcţia $G \circ \phi$ este o primitivă a lui $(g \circ \phi )·\phi \text{'}$, adică

${\int }_{ }g\left(\phi \right(x\left)\right)·\phi \text{'}\left(x\right)dx = G\left(\phi \right(x\left)\right) + c.$

Aplicaţii ale integralelor în Geometrie. 

Calculul ariei unor suprafeţe plane

Dacă $G$ este subgraficul funcţiei continue $f:[a, b]\to {\mathit{R}}_{\mathbf{+}}$, atunci aria lui $G$ este $A\left(G\right) = {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$.

Lungimea graficului unei funcţii

Lungimea graficului funcţiei $f:[a, b]\to \mathit{R}$ derivabilă cu derivata continuă, este $L_f = {\int }_a^b\sqrt{1+f\text{'}{\left(x\right)}^2}dx.$

Aria laterală a  unui corp de rotaţie

Dacă $f:[a, b]\to [0, \infty )$ este o funcţie continuă, atunci corpul de rotaţie determinat de $f$ are aria laterală egală cu 

$A\left(f\right) = 2\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)·\sqrt{1+\mathrm{f}\text{'}{\left(\mathrm{x}\right)}^2}d\mathrm{x}.$

Volumul unui corp de rotație

Dacă $f:[a, b]\to [0, \infty )$  este o funcţie continuă, atunci corpul de rotaţie determinat de $f$are volum şi este egal cu

$V\left(J\right) = \pi {\int }_a^b{f}^2\left(x\right)dx.$