Probabilități. Elemente generale

Probabilitate. Câmp de probabilitate. Schema lui Bernoulli. Schema lui Poisson

Evenimente

1. Proba. Eveniment

Considerăm că aruncăm un zar. Este evident o experienta aleatoare* adică o experiență al cărei rezultat variază la întâmplare.    
* Cuvântul aleator provine de la latinescul alea, care înseamnă zar.    
Dacă notăm cu $\left\{1\right\}$ apariția feței cu un singur punct, cu $\left\{2\right\}$ apariția feței cu două puncte etc. în urma unei aruncări cu zarul avem unul din rezultatele

$\left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{3\right\}, \left\{4\right\}, \left\{5\right\}, \left\{6\right\}$

Acestea sunt singurele rezultate posibile și unul dintre ele se produce neapărat. Acestea sunt probele experientei.   
Rezultatul unei experiente aleatoare se numește probă.

Evenimentul care poate fi realizat de o probă și numai de una se numește eveniment elementar.    
Celelalte evenimente se numesc compuse.

2. Eveniment sigur. Eveniment imposibil

Fiecărei experiente i se atașează doua evenimente cu caracter special: evenimentul sigur și evenimentul imposibil.    
Evenimentul sigur este un eveniment sigur care se realizează cu certitudine la fiecare efectuare a experientei.    
De exemplu, la aruncarea unui zar, apariția uneia din fetele 1, 2, 3, 4, 5, 6 este evenimentul sigur al experienței.

Evenimentul imposibil nu se realizează la nici-o efectuare a experienței.    
De exemplu, la aruncarea unui zar, apariția altei fete decât fetele 1, 2, 3, 4, 5, 6 este un eveniment imposibil. Sau extragerea unei bile albe dintr-o urna care conține numai bile negre.

3. Operații cu evenimente

Fiind date doua evenimente A și B, se numește reuniunea lor și se notează prin $A\cup B$, evenimentul a cărui realizare constă în realizarea a cel puțin unuia din cele doua evenimente. Se mai citește "A sau B".

La aruncarea zarului considerăm evenimentele

$A=\{1, 2, 3\}$ și $B=\{2, 3, 6\}$

Evenimentul A se realizează dacă se realizează unul din evenimentele $\left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{3\right\}$, iar evenimentul B se realizează dacă se realizează unul din evenimentele  $\left\{2\right\}, \left\{3\right\}$ sau $\left\{6\right\}$. Deci, pentru a realiza cel puțin unul din evenimentele A, B trebuie să obținem una din probele $\left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{3\right\}, \left\{6\right\}$ și avem

$A\cup B=\{1, 2, 3, 6\}$

Intersecția evenimentelor A și B este evenimentul $A\cap B$ a cărui realizare constă în realizarea simultană a evenimentelor A, B. Putem citi A și B în loc de A intersectat cu B. În cazul de mai sus avem

$A\cap B=\{2, 3\}$

Mulțimea tuturor evenimentelor legate de o experiență (inclusiv evenimentul sigur și evenimentul imposibil) formează un câmp de evenimente.

Probabilitate

1. Frecvența

Dacă repetăm o experienta de n ori în condiții identice, și obținem de a ori evenimentul A, atunci numărul

$fn = \frac{a}{n}$

poartă numele de frecvență.    
 

Numărul a poate varia de la 0 la n inclusiv.

Evenimente egal posibile. Fie A și B doua evenimente referitoare la aceeași experiență. Dacă din motive de perfecta simetrie, putem afirma că ambele evenimente au aceeași șansă de a fi realizate, spunem că evenimentele sunt egal posibile.

2. Probabilitate

Definitie. Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul cazurilor egal posibile care realizează evenimentul si numarul cazurilor egal posibile.

Așadar, vom spune ca probabilitatea evenimentului A este egala cu raportul dintre numărul m al cazurilor favorabile realizării evenimentului A și numărul n al cazurilor egal posibile. Vom scrie

$P\left(A\right)=\frac{m}{n}$.

Exemplu. Avem o urnă care conține 20 de bile numerotate cu 1, 2, 3, ... , 19, 20. Care este probabilitatea ca printr-o extracție să obținem o bilă numerotată cu un nr. mai mic decât 6?

Notăm cu A evenimentul căruia dorim sa-i calculam probabilitatea. Numărul cazurilor egal posibile este 20. Numărul cazurilor favorabile realizării evenimentului A este 5. Aceste cazuri sunt: extragerea bilei 1, extragerea bilei 2, extragerea bilei 3, extragerea bilei 4 sau extragerea bilei 5. Atunci avem

$P\left(A\right)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$.

Proprietăți ale probabilităților

Probabilitatea unui eveniment A, pe care o notăm prin $P\left(A\right)$, are următoarele proprietăți:    
$$\begin{gathered} 1. 0\le P\left(A\right)\le 1 \\ 2. P\left(E\right) = 1 \\ 3. P(\varnothing ) = 0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 4. P(A\cup B) = P\left(A\right) + P\left(B\right), \text{dacă} A\cap B = \varnothing \\ 5. P\left(A\right) = 1 - P\left(A\right) \end{gathered}$$

Regula de adunare a probabilităților

Fie A si B doua evenimente incompatibile între ele având respectiv probabilitățile $p$ și $q$. Probabilitatea ca să se întâmple cel puţin unul dintre ele este $p + q$.

Evenimente independente

Fie A şi B două evenimente. Dacă

$P(A\cap B)=P\left(A\right)·P\left(B\right)$

evenimentele A și B sunt, prin definiție, independente.

Exemplu. Considerăm că avem două zaruri: unul roşu și celălalt albastru. Fie A evenimentul ca zarul roşu să apară cu faţa 1 şi celălalt cu faţa 4. Sunt evenimentele A și B independente?

Evenimentele elementare sunt  $(j, k ), (j =1, 2, 3, 4, 5, 6; k =1, 2, 3, 4, 5, 6)$, unde $j$ sunt nr. de puncte de pe faţa zarului roşu, iar $k$ de pe faţa zarului albastru. Toate aceste evenimente sunt egal posibile.    

Deci, avem 36 de cazuri posibile.   
Avem un singur caz posibil pentru $A\cup B$, adică $(1, 4)$. Deci

$P(A\cap B)=\frac{1}{36}.$

Pentru A avem 6 cazuri posibile $(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)$. Deci, $P\left(A\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$   
Pentru B avem 6 cazuri favorabile: $(1,5), (2,5), ...$. Deci, $P\left(B\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$

Relația $P(A\cap B)=P\left(A\right)·P\left(B\right)$ este îndeplinită. Atunci evenimentele A și B sunt independente.

Câmp de probabilitate

Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respective formează un câmp de probabilitate.

Probabilităţile calculate se referă la evenimente legate de experienţe având un număr finit de cazuri posibile(evenimente elementare).

Formule pentru calcularea unor probabilităţi

1. $P(A\cup B) = P\left(A\right) + P\left(B\right) - P(A\cap B)$

2. $P(A\cup B\cup C) = P\left(A\right) + P\left(B\right) + P\left(C\right) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C).$

Scheme clasice de probabilitate

1. Schema lui Poisson

Se dau $n$ urne $U1, U2, U3, ..., Un$ care conțin bile albe și negre în proporții date. Cunoaștem, deci, probabilităţile $pi (i=1, 2, ..., n)$ cu care este extrasă o bilă albă din urna $Ui$. Se cere probabilitatea de a extrage $k$ bile albe și $n-k$ bile negre, atunci când din fiecare urnă se extrage câte o bilă.

Probabilitatea căutată va fi coeficientul lui $xk$ în polinomul

$P\left(x\right) = (p_{1}x+q_1)(p_{2}x+q_2) ... (p_{n}x+q_n).$

2. Schema lui Bernoulli

În schema lui Poisson presupunem că avem urnele identice. Atunci putem lua

$p1 = p2 = .... = pn = p$

$q1 = q2 = ... =qn = q = 1-p.$

În acest caz, probabilitatea extragerii a $x$ bile albe, va fi coeficientul lui $xk$ din polinomul

$P\left(x\right) = {(px + q)}^n$,

adică, va fi egală cu

$C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$.

Articol modificat pe 1 aprilie 2022.