Probabilități

Valori aleatoare. Valori medii. Momente. Dispersie

Valori aleatoare. Valori medii

 1.   Definiție 

În practică ne întâlnim zilnic cu mărimi care iau valori ce se schimbă  sub influenţa unor factori întâmplători. De exemplu, numărul de copii care vor răci în prima săptămână de şcoală, numărul de zile însorite din luna martie sau numărul de puncte care apar la aruncarea unui zar. Aici ne interesează doar acele mărimi care iau un număr finit de valori. Fiecare din mărimile de mai sus poate lua diferite valori în diversele efectuări ale experienţei. Modificarea valorilor are la bază factori întâmplători. De aceea vom numi aceste mărimi variabile aleatoare (întâmplătoare).

O variabilă aleatoare $X$ o vom nota schematic:

$X\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& ...& x_n\\ p_1& p_2& ...& p_n\end{array}\right),$

unde, în partea de sus a tabloului am trecut valorile posibile ale variabilei, iar sub am trecut probabilitatea cu care $X$ ia această valoare.

Tabloul de mai sus definește distribuţia  sau repartiţia variabilei $X$.

Exemplu. Să considerăm un joc cu zarul. Se acordă celui care aruncă zarul:

            1 pct. dacă apare una din feţele 1 sau 3

            2 pct. dacă apare una din feţele 3 sau 4

            3 pct. dacă apare una din feţele 6 sau 5.

Dacă notăm cu $X$ numărul de puncte obţinute de un jucător la o aruncare a zarului, obţinem o variabilă aleatoare cu distribuţia

 $X\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right).$

Să considerăm alt joc cu care se acordă:

            1 pct. dacă apare una din feţele 1 sau 6

            2 pct. dacă apare una din feţele 2 sau 5

            3 pct. dacă apare una din feţele 3 sau 4.

Astfel avem distribuţia

$Y\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right).$

În exemplul de mai sus, variabilele $X$ și $Y$ nu sunt egale, dar au aceeași distribuție.

Aruncarea zarului este o experienţă care dă naștere la un câmp de probabilitate. Notăm mulţimea evenimentelor elementare cu $E=\left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$. Variabila $X$ este o funcție definită pe $E$, care ia următoarele valori:

$X\left(\left\{1\right\}\right)=1; X\left(\left\{2\right\}\right)=1; X\left(\left\{3\right\}\right)=2; X\left(\left\{4\right\}\right)=2; X\left(\left\{5\right\}\right)=3; X\left(\left\{6\right\}\right)=3.$

La fel:

$Y\left(\left\{1\right\}\right)=1; Y\left(\left\{6\right\}\right)=1; Y\left(\left\{2\right\}\right)=2; Y\left(\left\{5\right\}\right)=2; Y\left(\left\{3\right\}\right)=3; Y\left(\left\{4\right\}\right)=3.$

Deci, o variabilă aleatoare este o funcție definită pe mulţimea evenimentelor elementare ale unui câmp de probabilitate.

Egalităţile de forma $X = x_i$ sunt evenimente. În exemplul de mai sus, egalitatea $X=1$ este echivalentă cu evenimentul $\left\{1, 2\right\}$. Adică, jucătorul capătă un punct dacă și numai dacă se realizează acest eveniment, cu alte cuvinte, capătă un punct doar dacă obține una din fețele 1 sau 2. Deoarece egalitățile $X=x_1; X = x_2; ...$ sunt incompatibile 2 câte 2 și una din ele se realizează neapărat, avem:

$P(X=x_1) + P(X=x_2)+ ... +P(X=x_n) = 1,$

$p_1+p_2+ . .. + p_n = 1.$

Operaţii cu variabile aleatoare

1.   Produsul și suma dintre o constantă şi o variabilă oarecare

Dacă $X$ este o variabilă aleatoare şi a este o constantă, $aX$ este variabila care ia valoarea $a{x}_i$, atunci când $X$ ia valoarea $x_i$, iar $a+X$ este variabila care ia valoarea

$a+x_i$

când $X$ ia valoarea $x_i$.

Dacă $X$ are distribuţia

$aX$ are distribuţia

iar

2.   Adunarea variabilelor aleatoare 

Fiind date două variabile aleatoare $X$ şi $Y$, vom numi suma lor variabila $Z=X+Y$, care ia valoarea $x_i + y_i$, dacă $X$ ia valoarea $x_i$, iar $Y$ ia valoarea $y_i.$

Dacă

 $X+Y$ are distribuţia

unde  $p_{ij} (i = 1, 2, 3, ..., m; j = 1, 2, 3, ..., n)$ este probabilitatea realizării simultane a egalităţilor $X = x_i, Y = y_j.$

3.   Produsul variabilelor aleatoare 

Fiind date doua variabile aleatoare  $X$ și $Y$, vom numi produsul lor ca fiind  $XY$,  care ia valoarea  $x_i{y}_j$, atunci când  $X$ ia valoarea $x_i$ şi  $Y$ ia valoarea $y_j$_.

Dacă  $X$ şi $Y$ au distribuţiile

 $XY$ are distribuția

unde $p_{ij}$ este probabilitatea realizării simultane a egalităților

$X = x_i, Y=y_j$.

4.   Ridicarea la putere a unei variabile aleatoare 

Fiind dată o variabilă aleatoare $X$, se numeşte puterea $r$ a lui $X$ variabila $X\text{'}$ care ia valoarea  $x_i\text{'}$, dacă $X$ ia valoarea $x_i.$

Dacă distribuţia lui $X$ este

distribuţia variabilei $X\text{'}$ este

5.   Variabile aleatoare independente 

Dacă $X$ şi $Y$ sunt două variabile aleatoare independente avem:

6.   Valori medii 

Definiție. Fiind dată o variabilă aleatoare

vom  numi valoarea medie a acestei variabile numărul

Proprietăţi ale valorii medii

1. Valoarea medie a unei constante este egală cu constanta.

2. Dacă $X$ este o variabilă aleatoare şi $a$ o constantă, atunci sunt adevărate relaţiile

a) $M(a+X) = a +M\left(X\right),$

b) $M\left(aX\right) = a·M\left(X\right).$

3. Valoarea medie a unei variabile aleatoare

este cuprinsă între cea mai mică şi cea mai mare din valorile posibile ale variabilei.

4. Valoarea medie a unei sume finite de variabile aleatoare este egală cu suma valorilor medii ale variabilelor aleatoare respective.

5. Valoarea medie a unui produs de două variabile aleatoare independente este egală cu produsul valorilor medii ale variabilelor considerate.

Alte valori tipice ale variabilei aleatoare

1.   Momente

Fiind dată o variabilă aleatoare $X$, vom numi moment de ordinul $k$ al acestei variabile valoarea medie a variabilei $X^k$. Vom scrie

Dacă $X$ are distribuţia

atunci 

2.   Dispersia

Se numeşte dispersie a unei variabile aleatoare $X$ momentul centrat de ordinul al doilea al acestei variabile. Se scrie

${\sigma }^2 = D^2\left(X\right) = M\left[{(X-m)}^2\right], \text{unde }m = M\left(X\right).$

Proprietăţi:

1. Dispersia unei constante este nulă

$D^2\left(a\right) = 0.$

2. Două variabile care diferă printr-o constantă au dispersii egale.

3. Dispersia produsului dintre o constantă şi o variabilă aleatoare este egală cu produsul dintre pătratul constantei şi dispersia variabilei

$D^2\left(aX\right) = a^2{D}^2\left(X\right).$

4. Dispersia unei sume finite de variabile aleatoare independente este egală cu suma dispersiilor variabilelor adunate.

$D^2(X_1 + X_2 + ... + X_n) = D^2\left(X_1\right) + D^2\left(X_2\right) + ... + D^2\left(X_n\right),$

dacă $X_1, X_2, ..., X_n$  sunt independente în totalitatea lor.