Probabilități
Valori aleatoare. Valori medii. Momente. Dispersie
Alte formule
Valori aleatoare. Valori medii
1. Definiție
În practică ne întâlnim zilnic cu mărimi care iau valori ce se schimbă sub influenţa unor factori întâmplători. De exemplu, numărul de copii care vor răci în prima săptămână de şcoală, numărul de zile însorite din luna martie sau numărul de puncte care apar la aruncarea unui zar. Aici ne interesează doar acele mărimi care iau un număr finit de valori. Fiecare din mărimile de mai sus poate lua diferite valori în diversele efectuări ale experienţei. Modificarea valorilor are la bază factori întâmplători. De aceea vom numi aceste mărimi variabile aleatoare (întâmplătoare).
O variabilă aleatoare o vom nota schematic:
unde, în partea de sus a tabloului am trecut valorile posibile ale variabilei, iar sub am trecut probabilitatea cu care ia această valoare.
Tabloul de mai sus definește distribuţia sau repartiţia variabilei .
Exemplu. Să considerăm un joc cu zarul. Se acordă celui care aruncă zarul:
1 pct. dacă apare una din feţele 1 sau 3
2 pct. dacă apare una din feţele 3 sau 4
3 pct. dacă apare una din feţele 6 sau 5.
Dacă notăm cu numărul de puncte obţinute de un jucător la o aruncare a zarului, obţinem o variabilă aleatoare cu distribuţia
Să considerăm alt joc cu care se acordă:
1 pct. dacă apare una din feţele 1 sau 6
2 pct. dacă apare una din feţele 2 sau 5
3 pct. dacă apare una din feţele 3 sau 4.
Astfel avem distribuţia
În exemplul de mai sus, variabilele și nu sunt egale, dar au aceeași distribuție.
Aruncarea zarului este o experienţă care dă naștere la un câmp de probabilitate. Notăm mulţimea evenimentelor elementare cu . Variabila este o funcție definită pe , care ia următoarele valori:
La fel:
Deci, o variabilă aleatoare este o funcție definită pe mulţimea evenimentelor elementare ale unui câmp de probabilitate.
Egalităţile de forma sunt evenimente. În exemplul de mai sus, egalitatea este echivalentă cu evenimentul . Adică, jucătorul capătă un punct dacă și numai dacă se realizează acest eveniment, cu alte cuvinte, capătă un punct doar dacă obține una din fețele 1 sau 2. Deoarece egalitățile sunt incompatibile 2 câte 2 și una din ele se realizează neapărat, avem:
Operaţii cu variabile aleatoare
1. Produsul și suma dintre o constantă şi o variabilă oarecare
Dacă este o variabilă aleatoare şi a este o constantă, este variabila care ia valoarea , atunci când ia valoarea , iar este variabila care ia valoarea
când ia valoarea .
Dacă are distribuţia
are distribuţia
iar
2. Adunarea variabilelor aleatoare
Fiind date două variabile aleatoare şi , vom numi suma lor variabila , care ia valoarea , dacă ia valoarea , iar ia valoarea
Dacă
are distribuţia
unde este probabilitatea realizării simultane a egalităţilor
3. Produsul variabilelor aleatoare
Fiind date doua variabile aleatoare și , vom numi produsul lor ca fiind , care ia valoarea , atunci când ia valoarea şi ia valoarea .
Dacă şi au distribuţiile
are distribuția
unde este probabilitatea realizării simultane a egalităților
.
4. Ridicarea la putere a unei variabile aleatoare
Fiind dată o variabilă aleatoare , se numeşte puterea a lui variabila care ia valoarea , dacă ia valoarea
Dacă distribuţia lui este
distribuţia variabilei este
5. Variabile aleatoare independente
Dacă şi sunt două variabile aleatoare independente avem:
6. Valori medii
Definiție. Fiind dată o variabilă aleatoare
vom numi valoarea medie a acestei variabile numărul
Proprietăţi ale valorii medii
1. Valoarea medie a unei constante este egală cu constanta.
2. Dacă este o variabilă aleatoare şi o constantă, atunci sunt adevărate relaţiile
a)
b)
3. Valoarea medie a unei variabile aleatoare
este cuprinsă între cea mai mică şi cea mai mare din valorile posibile ale variabilei.
4. Valoarea medie a unei sume finite de variabile aleatoare este egală cu suma valorilor medii ale variabilelor aleatoare respective.
5. Valoarea medie a unui produs de două variabile aleatoare independente este egală cu produsul valorilor medii ale variabilelor considerate.
Alte valori tipice ale variabilei aleatoare
1. Momente
Fiind dată o variabilă aleatoare , vom numi moment de ordinul al acestei variabile valoarea medie a variabilei . Vom scrie
Dacă are distribuţia
atunci
2. Dispersia
Se numeşte dispersie a unei variabile aleatoare momentul centrat de ordinul al doilea al acestei variabile. Se scrie
Proprietăţi:
1. Dispersia unei constante este nulă
2. Două variabile care diferă printr-o constantă au dispersii egale.
3. Dispersia produsului dintre o constantă şi o variabilă aleatoare este egală cu produsul dintre pătratul constantei şi dispersia variabilei
4. Dispersia unei sume finite de variabile aleatoare independente este egală cu suma dispersiilor variabilelor adunate.
dacă sunt independente în totalitatea lor.
Forum
Noutăţi
Daca vrei să ne dai o idee scrie-ne la opinii@mateonline.net
Îţi mulţumim!'