Probabilități

Valori aleatoare. Valori medii. Momente. Dispersie

Valori aleatoare. Valori medii

 

1.   Definitie

 

În practică ne întâlnim zilnic cu mărimi care iau valori ce se schimbă  sub influenţa unor factori întâmplători. De exemplu, numărul de copii care vor răci in prima saptamana de şcoală, numărul de zile însorite din luna martie sau numărul de puncte care apar la aruncarea unui zar. Aici ne interesează doar acele mărimi care iau un număr finit de valori. Fiecare din mărimile de mai sus poate lua diferite valori în diversele efectuari ale exeperienţei.Modificarea valorilor are la bază factori întâmplători. De aceea vom numi aceste mărimi variabile aleatoare (întâmplătoare).

 

 

 

O variabilă aleatoare X o vom nota schematic:

Tabloul de mai sus defineste distribuţia  sau repartiţia variabilei X.

Exemplu. Să considerăm un joc cu zarul. Se acordă celui care aruncă zarul:

            1 pct. dacă apare una din feţele 1 sau 3

            2 pct. dacă apare una din feţele 3 sau 4

            3 pct. dacă apare una din feţele 6 sau 5.

Dacă notăm cu X numărul de puncte obţinute de un jucător la o aruncare a zarului, obţinem o variabilă aleatoare cu distribuţia

.

Să considerăm alt joc cu care se acordă:

            1 pct. dacă apare una din feţele 1 sau 6

            2 pct. dacă apare una din feţele 2 sau 5

            3 pct. dacă apare una din feţele 3 sau 4.

Astfel avem distribuţia

În exemplul de mai sus, variabilele X  si Y nu sunt egale, dar au aceeasi distributie.

 

Aruncarea zarului este o experienţă care dă nastere la un câmp de probabilitate. Notăm mulţimea evenimentelor elementare prin E={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Variabila X  este o functie definită pe E, care ia următoarele valori:

X({1}) = 1; X({2}) = 1;  X({3}) = 2; X({4}) = 2; X({5}) = 3;

X({6}) = 3.

La fel:

Y({1}) = 1; Y({6}) = 1;  Y({2}) = 2; Y({5}) = 2; Y({3}) = 3;

Y({4}) = 3.

Deci, o variabila aleatoare este o functie definită pe mulţimea evenimentelor elementare ale unui câmp de probabilitate.

Egalităţile de forma X=xi sunt evenimente. În exemplul de mai sus, egalitatea X=1 este echivalentă cu evenimentul {1, 2}. Adica, jucatorul capata un punct daca si numai daca se realizeaza acest eveniment, cu alte cuvinte, capata un punct doar daca obtine una din fetele 1 sau 2. Deoarece egalitatile X=x1; X=x2;  … sunt incompatibile 2 cate 2 si una din ele se realizeaza neaparat, avem:

 

 

Operaţii cu variabile aleatoare

 

1.   Produsul si suma dintre o constantă şi o variabilă oarecare

 

Daca X este o variabilă aleatoare şi a este o constantă, aX este variabila care ia valoarea axi , atunci când X  ia valoarea xi, iar a + X este variabila care ia valoarea

a + xi

când X ia valoarea xi.

Dacă X are distribuţia

aX are distribuţia

iar

 

2.   Adunarea variabilelor aleatoare

 

Fiind date două variabile aleatoare X şi Y, vom numi suma lor variabila Z = X + Y, care ia valoarea xi + yi, dacă X ia valoarea x, iar ia valoarea y.

Dacă

 

 X + Y are distribuţia

unde pij (i=1, 2, 3, ... , m;   j=1, 2, 3, ..., n) este probabilitatea realizării simultane a egalităţilor X = xi; Y=yj.

 

3.   Produsul variabilelor aleatoare

 

Fiind date doua variabile aleatoare X si Y, vom numi produsul lor ca fiind XY,  care ia valoarea xiyj, atunci când X ia valoarea xi  şi  Y ia valoarea yj.

 

Dacă X şi Y  au distribuţiile

 

 

XY are distributia

 

unde pij este probabilitatea realizarii simultane a egalitatilor

X = xi,   Y=yj.

 

 

 

4.   Ridicarea la putere a unei variabile aleatoare

 

Fiind dată o variabilă aleatoare X, se numeşte puterea r a lui X variabila X care ia valoarea  xi, dacă X ia valoarea xi.

Dacă distribuţia lui X este

 

distribuţia ariabilei X este

 

5.   Variabile aleatoare independente

 

Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare independente avem:

 

 

 

6.   Valori medii

 

Definitie. Fiind dată o variabilă aleatoare

vom  numi valoarea medie a acestei variabile numărul

 

Proprietăţi ale valorii medii

1.    Va loarea medie a unei constante este egală cu constanta.

2.    Dacă X este o variabilă aleatoare şi a o constantă, atunci sunt adevărate relaţiile

 

a)    M(a + X) = a + M(X),

b)   M(aX) = aM(X).

3.    Valoarea medie a unei variabile aleatoare

este cuprinsă între cea mai mică şi cea mai mare din valorile posibile ale variabilei.

 

4.    Valoarea medie a unei sume finite de variabile aleatoare este egală cu suma valorilor medii ale variabilelor aleatoare respective.

5.    Valoarea medie a unui produs de două variabile aleatoare independente este egală cu produsul valorilor medii ale variabilelor considerate.

 

Alte valor tipice ale variabilei aleatoare

1.   Momente

Fiind dată o variabilă aleatoare X, vom numi moment de ordinul k al acestei variabile valoarea medie a variabilei Xk. Vom scrie

Dacă X are distribuţia

atunci 

2.   Dispersia

Se numeşte dispersie a unei variabile aleatoare X momentul centrat de ordinul al doilea al acestei variabile. Se scrie

Proprietăţi:

1.    Dispersia unei constante este nulă

D2(a) = 0.

2.    Două variabile care diferă printr+o constantă au dispersii egale.

3.    Dispersia produsului dintre o constantă şi o variabilă aleatoare este egală cu produsul dintre pătratul constantei şi dispersia variabilei

D2(aX) = a2D2(X).

4.    Dispersia unei sume finite de variabile aleatoare independente este egală cu suma dispersiilor variabilelor adunate.

dacă X1, X2, ... , Xn   sunt independente în totalitatea lor.

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'

 

Avem nevoie de o donaţie mică