Forum matematică


triunghi abc

Vizitator
in triunghiul ABC ,masura unghiului A=90 de grade, AD perpendicular pe BC, D apartine lui BC, BE si AF sunt bisectoarele unghiurilor ABC respectiv DAC, E apartine AC si F apartine BC.
Fie M SI N mijloacele laturilor AB respectiv AC . Aratati ca :
a) PN= 1/2 (BC-AB)
b)punctele M,P,N sunt coliniare
DD
Vizitator
2010-12-13 20:10:23
Precizeaza cine-i  punctul  P .
Anonim
Vizitator
2010-12-14 10:39:19
asta este toata problema.... si crede-ma nu este nici o eroare...

DD
Vizitator
2010-12-14 11:20:09
Ceva ai omis ,sau este gresita problema , in carte. Imi pare rau , dar nu te pot ajuta .
vlad
Vizitator
2010-12-14 14:24:13

Daca imi  dati voie, sa imi dau si eu cu parerea... :)


Am facut si eu figura si, desi, intr-adevar, in problema NU se precizeaza cine si unde este acel punct P, DAR, avand in vedere cerinta problemei, P va fi intersectia celor doua bisectoare AF si BE (ci care, asa cum vom vedea, P va mai fi si mijlocul mijlocul bisectoarei AF si, mai mult, si MN intersectat cu AF).


Luam un triunghi dreptunghic in A (A in partea de jos, stanga), AB orizontal (B in dreapta) si AC vertical (C, sus, in stanga). Se duc bisectoarele cerute BF si AE, inaltimea AD, si se noteaza M si N si mijloacele catetelor si P intersectia lui BE cu AF.


a) Avem ca unghiul CAF = unghiul FAD (pentru ca AF bisectoarea unhgiului DAC). Deasemeni avem ca masura unghiului CBE (FBE sau DBE) = masura unghiului EBA (deoarece BE bisectoarea unghiului ABC). Sa nu uitam si ca AD perpenducular pe BC, deci se "nasc" acolo alte (niste) triunghiuri dreptunghice: ACD, AFD, ADB.


In tringhiul AFD, masura unghiului AFD este 90 - masura unghilului FAD. Dar FAD am vazut ca este egal cu FAC. Si cine este 90-FAC? Pai estel, in triunghiul dreptunghic ABC, in unghiul drept A,... este FAB. ASADAR, unghiul FAB  este egal cu unghiul AFB, deci => triunghiul ABF este isoscel ! Deci AB=FB.


Dar, intr-un triunghi isoscel (AFB), bisectoarea unghiului B este de toate pentru acel triunghi. DECI, este si inaltime dar si mediana. DECI AP=PF => P mijlocul lui AF.


Stim ca N mijlocul lui AC si P mijlocul lui AF, deci avem triunghurile asemenea AMN si AFC => PN linie mijlocie, deci PN=FC/2. Dar cine este GC? Pai FC este tocmai BC - FB, dar am vazut ca FB=AB, deci PN =(BC - AB) / 2.


b) Pai, daca P mijloc AF si NP || FC => unghiul NPA = unghiul CFA (pe de o parte), DAR si PM || FB => unghiul APM = unghiul AFB (de de cealalta parte). DAR, CFA + AFB fac 180 de grade (F apartine BC si A, F si B coliniare). DECI => ca si masura lui NPM este tot de 180 de grade, deci NP si PM sunt in prelungire => N, P si M coliniare.


Gata! Intrebari?

Anonim
Vizitator
2010-12-15 10:39:43
nu sunt intrebari domnilor profesori sunt numai multumiri din partea mea!!!!
sanatate si tot ce va doriti in noul an!
  ^ Sus
  Răspunde | Subiect Nou

 

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'