Sa se arate ca, daca intr-un triunghi ABC au loc relatiile a+b=2c si sinA+sinB=radical din 3, triunghiul este echilateral.
Forum matematică
trigonometrie
Din teorema sinusurilor: a = 2R*sinA, b = 2R*sinB si c = 2R*sinC, inlocuind in prima relatie, avem:
a+b=2c <=> 2R*sinA + 2R*sinB = 2*2R*sinC |:2R => sinA + sinB = 2sinC (*), dar din a doua relatie din enunt avem sinA+sinB = rad(3), inlocuind in relatia (*) avem:
rad(3) = 2sinC <=> sinC = rad(3)/2, deci m(C) = 600 => m(B+C) = 180o-60o = 1200
Dar sinA + sinB = 2*sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2] = 2*sin(1200/2)*cos[(A-B)/2] =
rad(3)*cos[(A-B)/2].
Dar din enunt sinA+sinB = rad(3) => rad(3)*cos[(A-B)/2] = rad(3) , de unde cos[(A-B)/2] = 1, deci m[(A-B)/2] = 0o, de unde m(A-B) = 00, deci m(A) = m(B).
Stim ca m(A+B) = 1200 => m(A)=m(B)=600, stim de asemenea ca m(C)=600 => ABC este triunghi echilateral daca sunt adevarate relatiile din enuntul problemei. qed.
Forum
Noutăţi
Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net
Vă mulţumim!'