Forum matematică


Divizibilitate clasa a 5-a

Corina
Vizitator
2014-01-10 11:29:38

Se considera 2013 numere naturale nedivizibile cu 3. Aratati ca suma patratelor este divizibila cu 2013.

Multumesc

Radu
Vizitator
2014-01-21 03:27:08

Un numar natural nedivizibil cu 3 da restul 1 sau restul 2 la impartirea cu 3. De aici rezulta ca patratul lui da restul 1 la impartirea cu 3. Explicatia are loc folosind teorema impartirii cu rest.


Caz1) n=3*c+1 => n^2=(3*c+1)(3*c+1) => n^2=9*c^2+6*c+1 => n^2=3*(3*c^2+2*c)+1


Caz2) n=3*c+2 => n^2=(3*c+2)(3*c+2) => n^2=9*c^2+12*c+4 => n^2=3*(3*c^2+4*c+1)+1


Astfel,


N1^2=3*C1+1


N2^2=3*C2+1


.


.


.


N2013^2=3*C2013+1


si insumand, obtinem ca N1^2+N2^2+ ... +N2013^2=3*(C1+C2+ ... +C2013)+2013*1=3*(C1+C2+ ... +C2013+671).


Asadar, suma patratelor a 2013 nr. naturale nedivizibile cu 3 este divizibila cu 3.

Radu
Vizitator
2014-01-21 03:44:43

Cu 2013 nu poate fi divizibila in general. Contraexemplu:


Un numar este 2 si restul sunt 1. Suma patratelor lor va fi 2016 care este divizibila cu 3, dar nu cu 2013. De aceea am demonstrat mai sus ca suma este divizibila cu 3 si nu cu 2013.

  ^ Sus
  Răspunde | Subiect Nou

 

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'