Forum matematică


inductie matematica

Ana
2015-10-24 17:10:26
Post #1  
Membru
din 2015-10-24
 
Postari: 2

Ma poate ajuta cineva si pe mine sa rezolv prin inductie matematica cateva probleme. Am tot incercat prin diferite metode dar nu am ajuns la rezultatul cerut. 


1. Demonstrati ca: √n< 1/1 + 1/√2 + 1/√3+ .... +1/√n < 2√n oricare n≥2.


Am rezolvat n=2


Ce nu stiu sa fac este P(n+1)=?


 


2. Demonstrati ca: 1/(1*3) +1/(2*4) + 1/(3*5) +.... +1/(n-1)(n+1) = 3/4 - (2n+1)/2n(n+1) ; n≥2


De asemenea am calculat n=2


P(n+1)=?


 


3. Demonstrati ca:  1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(3n+1) > 1; n≥1


Am calculat n=1.


P(n+1)=?


 


4. Demonstrati ca: 1/(n+1) + 1/(n+2) + ..... + 1/2n > 13/24; n≥1


Am calculat n=1.


P(n+1)=?


 


Sper sa imi puteti da niste sfaturi sau niste indicatii pentru a le rezolva. Multumesc anticipat.


 


 

  ^ Sus
Vlad
2015-10-24 20:11:18
Post #2  
Vizitator

 


"Am incercat pri diferite metode..." Pai CARE diferite metode? Metoda este una singura, unica!!! Este cea a inductiei matematice!!!


Ce ai facut tu, ai facut doar primul pas, de verificare, pentru prima valoare a lui "n" (care este si cel mai usor).


Urmeaza pasul al doilea, inductia propriu zisa: il faci pe n=n+1, si in introduci in formula, peste tot, si te folosesti de identitatea pe care trebuie sa o arati de fapt ca este adevarata, ca fiind adevarata, ca ipoteza. Si, dupa calcule, vei obtine o identitate (deci un adevar).


Si, conform inductiei, daca si pt n+1 e adevarat, atunci si pt n (adica ceea ce trebuia sa demonstram) e adevarat.

  ^ Sus
Vlad
2015-10-24 20:56:55
Post #3  
Vizitator

 


Uite si o exeplificare. Pe celelalte iti las tie "placerea" sa le faci...! :)


2) pasul 1: verificare: n=2 => 1/(1*3) = (3/4) - 5/(2*2*3) = 4/(4*3) = 1/3 (Adevarat)


Pasul 2: consideram adevarata identitatea pe care trebuie sa o demonstram, ca ipoteza. Si, il facem pe n=n+1, si aratam ca, efectuand calculele, se obtine o identitate, deci un adevar.


Pai, atunci hai sa vedem. Daca il facem pe n=n+1, am avea asa:


1/(1*3) + 1/(2*4) + ... + 1/[(n-1)*(n+1)]  + 1/[n*(n+2)] trebuie sa fie egal cu (3/4) - (2n+3)/[2*(n+1)*(n+2)] (aici***)


Acum, grupand primii "n" termeni si inlocuindu-i cu expresia din partea dreapta a egalului, din ipoteza (adica din ceea ce trebuie sa demonstram) si la care adaugam ultimul termen in (n+1) si efectuam calculele.


Adica avem asa: (3/4) - (2n+1)/[2n*(n+1)] + 1/[n*(n+2)] = (dupa ce aducem la acelasi numitor comun, si desfacem parantezele) =  (3/4) - (2n^2 + 3n)/[2n*(n+1)*(n+2)].


Si, simplificand cu "n", se obtine exact expresia la care trebuia sa ajungem (unde am scris aici***)


Deci, este o egalitate/identitate; deci este adevarat. Atunci, daca pentru n+1 e adevarat,, si ipoteza (in n) (adica tocmai ceea ce trebuia sa demonstram de fapt) este adevarata.


Cam asa. Gata! Intrebari?

  ^ Sus
Ana
2015-10-25 14:15:50
Post #4  
Vizitator

 


Cand am spus ca am incercat prin diferite metode, m-am referit ca am incarcat sa il calculez pe P(n+1) dand factor comun 1/n la ex 3 si ex 4 sau pentru ex 1 ratonalizand, dar nu am ajuns la nimic util.


Am inteles ce cum ati rezolvat exercitiul 2, nu m-am gandit sa inlocuiesc P(n) cu expresia din partea drapta, dar are logica.


Imi puteti da niste sfaturi pentru exercitiile cu inegalitati? 


Multumesc mult!

  ^ Sus
Vlad
2015-10-25 15:03:39
Post #5  
Vizitator

 


Desigur.


La exercitiul 1 (ala cu inegalitatile), practic acolo ai doua exercitii intr-un singur!


Prima parte, iei primul < (din stanga) (ca exercitiu separat) si il rezolvi, tot prin inductie, tot in 2 pasi/etape.


A doua parte, ai al doilea < (din dreapta), care se rezolva identic (tot prin inductie si tot in 2 pasi/etape).

  ^ Sus
Vlad
2015-10-25 15:20:30
Post #6  
Vizitator

 


1) PRIMUL < (din stanga):


pas 1: verificare: n=2 => rad2 = 1.41 < 1 + 1/rad2 = (1+rad2)/rad2 (dupa aducere la acelasi numitor) = rad2*(1+rad2)/2 (am rationalizat numitorul: adica am inmultit si sus si si jos cu rad2 ca sa scap de rad2 de la numitor) = (2+rad2)/2 = 1 + (rad2)/2 = 1+ 1.41/2 = 1+0.7 = 1.7 (adevat: 1.4<1.7)


pas2: presupun adevarata inegalitatea (o iau de buna, ca ipoteza)


pas3: fac pe n=n+1


trebuie sa demonstrez ca rad(n+1) < (1/1) + (1/rad2) + ... + 1/(radn) + 1/(rad(n+1))


Asta inseamna rad(n+1) < radn (am inlocuit primii n termeni, conform ipotezei) + 1/(rad(n+1)) (asta e ultimul termen, in n+1)


Aducem la acelasi numitor (in partea dreapta) si inseamna ca: rad(n+1) < (1+ rad(n*(n+1))/(rad(n+1))


Eliminam numitorul (adica inmultim cu rad(n+1) (care e diferit de zero!) si intr-o parte si in cealalta: n+1 (pt ca "iese"  de sub radical) < 1 + rad(n*(n+1).


1 se reduce si inseamna ca trebuei sa aratam ca n < rad(n*(n+1).


Scriem pe "n" (din partea stanga) ca (radn)*(radn); rezulta (radn)*(radn) < (radn)*rad(n+1)


Simplificam prin radn (care e diferit de zero!) => radn < rad(n+1). Ceea ce este clar (adevarat)


Deci, inseamna ca si ipoteza noastra este adevarata! Si gata prima inegalitate (prima parte; primul exercitiu)

  ^ Sus
Ana
2015-10-25 15:22:06
Post #7  
Membru
din 2015-10-24
 
Postari: 2

Ok, multumesc pentru ajutor! 

  ^ Sus
Vlad
2015-10-25 15:36:47
Post #8  
Vizitator

 


1) Al DOILEA < (cel din dreapta).


pas 1: verificare: n=2: 2rad2=2*1.41=2.82 > 1.7 (asta stim deja de la prima veridficare, cat suma dintre cele doua <)


pas 2: presupunem adevarata inegalitatea (ca ipoteza)


pas3: facem n=n+1; asta inseamna: (1/1) + (1/rad2) + ... + (1/radn) + (1/rad(n+1)) < 2rad(n+1)


Primii "n" termeni ii inlocuim cu 2radn (din ipoteza), si asta inseamna: 2radn + 1/(rad(n+1)) < 2rad(n+1)


Aducem la acelasi numitor si il eliminam (inmultim si in dreapta si in stanga cu numitorul). Rezulta: 1+ 2*(radn)*(rad(n+1)) < 2*(n+1). 2*(n+1) = 2 + 2n (daca "desfacem" paranteza).


Daca "trecem" pe 1 (care e  singur) din stanga in dreapta (unde avem 2), inseamna ca in dreapta ne mai ramane un 1.


Deci avem: 2*(radn)*(rad(n+1) < 2n + 1.


Ridicam la patrat. Rezulta 4n*(n+1) < 4n2 + 4n + 1 => 0 < 1, ceea este adevarat.


Deci si ipoteza noastra este adevarata.


Gata! Intrebari?


 


 

  ^ Sus
Vlad
2015-10-25 15:39:30
Post #9  
Vizitator

 


Oricand cu mare placere! Te mai asteptam si cu alte postari!


Succes!


 


PS. Te rog, NU ezita daca ai neclaritati. Aici nu e loc de rusine! In ceea ce ma priveste, cel mai mult ma deranjeaza lenea si comoditatea unora, decat faptul ca cineva incearca si nu reuseste (dar sa arate ce-a facut), sau nu a inteles (din prima).


Nimeni nu s-a nascut invatat. Si a intreba, nu este o rusine. Rusine este a persista in greseala!


Prefer sa explic de doua ori, dar sa intelegi, decat sa ne pierdem timpul amandoi.

  ^ Sus
Ana
2015-10-25 20:44:59
Post #10  
Vizitator

 


Multumesc mult de tot pentru ajutor! Am reusit sa le rezolv aprope pe tote (am avut mult mai multe, nu dor cele postate aici doar ca au fost asemanatore)  dar am o nelamurire, cele care au n+ ceva jos, cum ar fi ex 3 sau ex 4, cum as putea sa le rezorv din moment ce toti numitorii se modifica iar in partea drepat se este o constanta. Am inercat sa scriu fractia ca o diferenta de doua fractii, dar nu se poate din moment ce jos este o suma si apare si n. Am incercat si cu factor comun dar mai rau m-am complicat. Imi poti da te rog o sugestie? 


 

  ^ Sus
Vlad
2015-10-25 23:58:50
Post #11  
Vizitator

 


Sorry ca raspund asa tarziu (mai bine mai tarziu decat niciodata... :) ); la putin timp dupa ultima postare am plecat si de abia acum am revenit.


Pai hai sa vedem cu sta treaba. Mda, la prima vedere, pare ceva mai complicat, pentru ca pana acum erau termeni ficsi, si nu aparea n la numitor (care sa se tot schimbe). Dar tot simplu este! Putin atentie, la calcule si la numaratul termenilor!


4) pas 3: facem n=n+1 (luand "de buna" relatia pe care trebuie sa o demonstram, ca ipoteza).


Relatia ar deveni: 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... +1/(2n) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) > 13/24 (constanta se pastreza, ca nu avem ce-i face).


pai vedem ca pana la termenul 1/2n, suma aia (avand in vedere ipoteza), inseamna (te-ai gandit tu bine la diferenta...) asa:


(13/24) - 1/(n+1) + (ce mai ramane) 1/(2n+1) + 1/(2n+2) > (trebuie sa aratam) 13/24.


Vedem ca 2n+2=2*(n+1). Vadem ca 13/24 se reduce (si ramane 0 in dreapta) si aducem la acelasi numitor comun, si obtinem: -2*(2n+1) + 2*(n+1) + 2n + 1 > 0 (ca fiind numitor comun, se poate elimina, mai ales, cum n>1, numitorul este intotdeauna positiv (deci are semn +).


Efectuand calculele, obtinem 1>0, ceea ce este adevarat!!! Deci si "ipoteza" noastra (deci exercitiul nostru) este adevarat(a).


 


Se procedeaza similar si la 3).


Intrebari?

  ^ Sus
Vlad
2015-10-26 00:10:17
Post #12  
Vizitator

 


3) pas 3: facem n=n+1.


Asta inseamna1/(n+2) + 1/(n+3) + .... +1/(3n+1) + 1/(3n+2) + 1/(3n+3) + 1/(3n+4) > 1


Folosind "ipoteza" (ai "mirosit" bine tu ceva pe acolo cu o scadere... dar mai trebuiau niste termeni... :) ), avem asa: 1-1/(n+1) (din ipoteza) + (restul de termeni) + 1/(3n+1) + 1/(3n+2) + 1/(3*(n+1)) + 1/(3n+4) > 1


1 se reduce, aducem la acelasi numitor comun si avem asa: -3*(3n+2)*(3n+4) + 3*(n+1)*(3n+4) + (3n+2)*(3n+4) + 3*(n+1)*(3n+2) > 0


Efectuezi calculele si dupa reducere (termenii in n^2 si n), obtinem 2>0. Ceea ce este un adevar. Deci si "ipoteza" noastra (practic exercitiul nostru) este adevarat.


Gata! Intrebari?

  ^ Sus
Ana
2015-10-26 19:59:57
Post #13  
Vizitator

 


Am inteles cum sta treaba! 


Multumesc mult de tot pentru ajutor! Smile

  ^ Sus
Vlad
2015-10-26 21:01:58
Post #14  
Vizitator

 


Cum am mai spus, oricand, cu mare placere! Si te mai asteptam si cu alte postari!


Mult succes in continuare! :)


 


PS. Chiar daca, cateodata, mai sunt si "acid"...

  ^ Sus
Ana
2015-10-26 23:17:17
Post #15  
Vizitator

 


Mai o intrebare legata de un alt exercitiu daca nu sunt prea profitore :)) 


Ex suna asa: Fie sirul (an)n≥1 definit prin a1=√5 si an+1= (4an) / (an+1), n≥1.  Mi se cere sa determin [an], n≥1.


Trebuie sa rezolv prin inductie, dar de data asta imi da an+1 iar eu trebuie sa aflu partea intreaga a lui a. Cum aflu adaca si an+1 se calculeaza tot prin an? Singurul lucru pe care pot sa il fac este sa calculez  [a1] care este egal cu 2, sau sa il incadrez pe √5 intre 2 si 3 (√4< √5< √9 sau 2<√5< 3) dar nu mi se pare util, sau cel putin nu vad cum se leaga de an... Sfaturi? 

  ^ Sus
  Răspunde | Subiect Nou

 

Forum

Ai nevoie de ajutor la matematica? Pune o întrebare!

la Aritmetica

la Algebra

la Geometrie

despre Examene

sau despre altceva

 

Noutăţi

Ultimele pagini adăugate

Calculul ariei unui patrulater convex

Teorema transversalei

 

Aplicaţii pe mobil

Descompune în factori primi
Numere Prime

 
 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'

Site partener:
www.mathematicshelp.org