ABC = triunghi oarecare.

pe prelumgirea laturii [BC] se considera punctele D si E a.i.

[BD] = [AB], unde B apartine la (DC)    si 

[CE] = [CA], unde C apartine la (BE).

In triunghiurile ABD si ACE construim:

BF perpendicular pe AD cu F apartine la AD si

CG perpendicular pe AE cu G apartine la AE si resp.

notam BF ∩ CG = {M}.

Sa se demonstreze ca [AM este bisectoarea unghiului BAC.

--------------------------------------------------------------------------------

N-am idee pe ce pista sa pornesc.

Am aratat ca triunghiul ABD ffiind isoscel rezulta ca BF este si bisectoare. mai mult, unghiul MBC ≡ unghul DBF(op. la varf). in mod identic am aratat ca triunghiul ACE ffiind isoscel rezulta ca CG este si bisectoare. mai mult, unghiul MCB ≡ unghul ECG(op. la varf). Aici m-am blocat. Multzumesc anticipat pt. orice idee ce ma ajuta sa duc la capat demonstratzia.

Avem figura de mai jos:

In aceasta figura avem BF inaltime in triunghiul BDA

DB=BA si, deci, ΔBDA isoscel => inaltimea BF este si mediana.

Acum, in ΔMDA, MF este inaltime si mediana (DF=FA) => ΔMDA isoscel => DM = MA     (1)

In mod asemanator demonstram ca ΔMEA este isoscel => MA = ME   (2)

Deci, din relatiile (1) si (2) rezulta ca DM = ME => ΔMDE isoscel => m(MDB) = m(MEC)   (3)

pentru ca unghiurile de la baza triunghiului isoscel sunt congruente

Acum avem

In mod asemanator avem

Din relatia (3) si aceste ultime doua egalitati de unghiuri rezulta ca