Buna seara

Fie trapezul isoscel ABCD ,unde AB || CD,AB>CD,proiectia lui C pe AB este E.

Aratati ca centrul de greutate al triunghiului ABC apartine segmentului ED.

Multumesc

Avem figura de mai jos:

In aceasta figura avem:

N - mijlocul lui AB

Deci, CN este mediana in ΔABC.

Dupa cum stim, centrul de greutate al unui triunghi se afla la interesectia medianelor acelui triunghi iar

acesta (adica, centrul de greutate) se afla la o treime de baza si doua treimi de varf.

Fie M = CN ∩ DE.

Trebuie sa demonstram ca M este centrul de greutate al triunghiului ABC.

M situindu-se pe CN care este mediana este de ajuns sa demonstram ca se afla la o treime de baza, adica

NM = CN / 3.

Ducem DF ⊥ AB. Avem DCEF dreptunghi. Cu EF = DC.

Avem AF = EB => N este mijlocul segmentului EF = > NE = EF / 2 = DC / 2

Acum, aplicam Teorema asemanarii. NE || DC => ΔMNE ~ ΔMCD =>

Deci, MN = MC / 2 => MN = CN / 3 => M se afla la o treime de baza si doua treimi de varf pe mediana CN =>

M - este centrul de greutate al triunghiului ABC

Deci, centrul de greutate al triunghiului ABC se afla pe DE.

multumesc foarte mult

Cu placere!

:)