Buna ziua

Se considera un patrulater convex ABCD cu AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.

Sa aratam ca:

multumesc

Folosind formula lui Bretschneider (https://ro.wikipedia.org/wiki/Formula_lui_Bretschneider): 

Aria(ABCD)  ≤ √[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]  (egalitate, cand cos[(α+γ)/2] = 0, adica α+γ = π - ABCD este inscriptibil).

Din inegalitatea mediilor se scrie (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) ≤ [(s-a+s-b+s-c+s-d)/4]⁴ = [(a+b+c+d)/4]⁴.

Atunci Aria(ABCD)  ≤ √[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] ≤ √[(a+b+c+d)/4]⁴ = [(a+b+c+d)/4]². 

Despre egalitate se poate vorbi in cazul in care a = b = c = d, adica ABCD este patrat.

Nota: Aceasta inegalitate ne spune ca dintre toate patrulaterele izoperimetrice , cea cu aria maxima este patratul.

(se mai numeste si inegalitatea izoperimetrica a patrulaterului).

multumesc foarte mult