Forum matematică


suma de coeficienti

Adrian
Vizitator
2016-06-26 21:26:49

Buna ziua


Fie polinomul;



Sa aratam ca suma coeficientilor de rang par



al polinomului f este un numar impar.


multumesc

Pixy
Vizitator
2016-06-27 16:27:59

este vreo legatura cu binomul lui Newton?

Adrian
Vizitator
2016-06-27 16:41:50

Desigur dar mu realizez aceasta legatura.Ma puteti ajuta?

G.K.
Vizitator
2016-06-28 14:20:45

Calculati f(-1) si f(1), folosind forma f = (X2+X+1)2014 + X.


Apoi calculati f(1) si f(-1), folosind forma algebrica a polinomului, si adunati cele doua relatii obtinute. Ce observati? 

Adrian
Vizitator
2016-06-28 21:10:26

Buna ziua


Iata calculele:



nu sunt capabil sa vad unde se ajunge imi trebuie un ajutorCry

G.K.
Vizitator
2016-06-28 22:18:35

Sunteti aproape de final: 


Din prima relatie avem f(-1)+f(1) = 32014+1 si din a doua  f(-1)+f(1) = 2*(a4028 + a4026 + ... + a2 + a0), adica 


2*(a4028 + a4026 + ... + a2 + a0) = 32014+1 => a4028 + a4026 + ... + a2 + a= (32014+1)/2, adica s-a obtinut suma coeficientilor de rang par.


Trebuie demonstrat ca (32014+1)/2 este un numar impar, adica 32014+1 este divizibil cu 2, dar nu e divizibil cu 4. 


32014 = (2+1)2014 = 22014 + C20141*22013 + ... + C20142013*2+1 = M4 + 1, adica da restul 1 la impartirea cu 4.


(Am folosit binomul lui Newton - toti termenii din dezvoltare sunt divizibile cu 4, in afara de ultimul care e 1).


Atunci 32014 +1 = M4 + 2, adica este par dar nu e divizibil cu 4.


Concluzie - suma coeficientilor de rang par : a4028 + a4026 + ... + a2 + a = (32014+1)/2 este un numar impar.

G.K.
Vizitator
2016-06-28 22:19:48

* toti termenii din dezvoltare sunt divizibile cu 4 :)

G.K.
Vizitator
2016-06-28 22:24:00

** toti termenii din dezvoltare sunt divizibili cu 4 (corectarea corectarii - ortografia, bat-o vina :) )

Adrian
Vizitator
2016-06-29 11:20:52

Buna ziua


Multumirile mele deosebite d-lui prof.GK pentru rezolvarea problemeiSmile

  ^ Sus
  Răspunde | Subiect Nou

 

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'