Forum matematică


siruri, integrala

Catalina
Membru din 2016-12-12
 
Postari: 2
2016-12-12 22:46:06

1. Sa se arate ca sirul (bn) dat de b{_{n}}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{^{2}} este marginit superior de a1. (a1 apartine (0,1) si a_{n+1}=a_{n}(1-\sqrt{a_{n}})


2. Sa se calculeze \lim_{n \to\xrig\infty {} }\int_{-n}^{n} f(x) dx, unde n este numar natural si f(x)=\frac{1}{x^{2}+x+1}.

Truta Alin
Vizitator
2017-02-23 22:44:29

Exericiutl 2. Incearca sa faci  o substitutie acolo


u = (2x+1)/√3

Aurel Chirea
Vizitator
2017-02-24 00:28:14

1. Prima problema se face prin inductie matematica


P1: b_{1}\leq a_{1}


Sa vedem:


b_{1}=a_{1}^{2} \leq a_{1}, pentru ca 0 < a <1. Deci P1 este adevarata


P2: b_{2}\leq a_{1}


b_{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}


a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=a_{1}^{2}+a_{1}(1-\sqrt{a_{1}})


Trebuie sa demonstram ca


a_{1}^{2}+a_{1}(1-\sqrt{a_{1}})\leq a_{1}


Simplificam prin asi obtinem


a_{1}+1-\sqrt{a_{1}}\leq 1


a_{1}-\sqrt{a_{1}}\leq 0


a_{1} \leq \sqrt{a_{1}}


ceea ce este adevarat pentru 0 < a1 < 1


Deci si P2 este adevarata.


Acum presupunem ca P(n) este adevarata si demonstram ca si P(n+1) este adevarata.


Dar asta iti ramane tie de demonstrat. Daca nu te descurci, scrie aici si revin cu un raspuns.

Aurel Chirea
Vizitator
2017-02-24 01:22:08

2. 


Pentru a doua problema sa vedem cu facem integrala:


\int \frac{1}{x^{2} +x+1}dx= {\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,\mathrm{d}x


Facem substitutia:


u=\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}, si avem  \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}


Deci integrala devine:


\frac{2}{\sqrt{3}}\int \frac{1}{u^{2}+1}du =\dfrac{2\arctan\left(u\right)}{\sqrt{3}}


Acum inlocuim cu cat am stabilit ca este si obtinem


{\displaystyle\int}\dfrac{1}{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x =\dfrac{2\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}+C


 


Cum limita acestei functii este 0 si la -infinit si la +infinit.


Cred ca limita este 0

alina
Vizitator
2017-08-28 09:45:52

Buna!


limx->+∞arctgx=π/2 iar limx->-∞arctgx=-π/2 deci vom avea [(2rad3)/3]*[(π/2)-(-π/2)]=(2rad3)π/3


Succes!

  ^ Sus
  Răspunde | Subiect Nou

 

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'

 

Avem nevoie de o donaţie mică