Am o problema care imi da triunghiul ABC isocel cu AB=AC=16 radical din 5 cm si BC=32 cm si punctul M ce nu apartine planului (ABC) astfel incat MA=MB=MC=25 cm. Se cere sa aflu raza cercului circumscris triunghiului ABC, distanta de la punctul M la planul (ABC), distanta de la punctul O care este piciorul perpendicularei dusa prin M la planul (ABC) si planul (MBC) si tangenta unghiului diedru format de planele (ABC) si (MBC). 

Nu am timp sa fac figura, dar iata cam cum se face:

Triunghiul ABC este isoscel.

Centrul cercului circumscris triunghiului se afla la intersectia mediatoarelor.

Fie AM ⊥ BC. AM este si mediana si bisectoare si mediatoare. (pentru ca triunghiul ABC este isoscel cu AB = AC).

Aflam AM cu Teorema lui Pitagora din triunghiul AMC ( m(‹M) = 90° )

Acum consideram punctul O - centrul cercului circumscris triunghiului ABC.

Atunci O se afla pe AM. Notam OM = x, OA = r (pentru ca este chiar raza cercului circumscris)

x + r = 32 cm

Dar, in triunghiul OMC aplicam Pitagora si avem:

pentru ca OC este tot raza a cercului circumscris.

Rezolvam si obtinem: OC = 20 cm => r = 20 cm