Forum matematică


Problema de optimizare

Galina
Vizitator
2017-02-26 09:12:16

intr-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este egala cu 24 cm si un unghi de 60gr. este inscrins un dreptunghi, baza caruia este situata pe ipotenuza. Care sunt dimensiunile dreptunghiului cu aria cea mai mare?

Popa Ilie
Vizitator
2017-02-28 22:39:20

Avem figura de mai jos. Cu unghiul C de 60° si unghiul B de 30°


Triunghi_dreptunghic


In aceasta figura avem dreptunghiul AMNP inscris triunghi.

Popa Ilie
Vizitator
2017-02-28 23:02:30

Am gresit figura mai devreme. Aceasta este figura:


Triunghi_dreptunghic


In aceasta figura notam


MQ = x


MN = y


Avem BC = 24 cm si folosim functiile trigonometrice ca sa aflam AC


AC = BC·sin 30° = 12 cm


In ΔCQM dreptunghic avem un unghi de 30. Deci


CM = MQ / cos 30° = 2x√3 / 3 cm


In ΔAMN dreptunghic si cu un unghi de 30° avem


AM = MN sin 30° = y / 2


Dar, AM = AC - MC = 12 - 2x√3 / 3 cm


Deci avem


y = 2\cdot AM = 24-\frac{4x\sqrt{3}}{3}


Acum putem scrie aria dreptunghiului MNPQ


S_{MNPQ}=MN\cdot MQ = y\cdot x = \frac{-4x^{2}\sqrt{3}}{3}+24x


Aceasta este o expresie de gradul al doilea


Cf acestei explicatii (http://www.mateonline.net/matematica/111/s/Minimul_/_Maximul_func_%3Eiei_de_gradul_al_II_lea.htm) expresia de  greadul al doilea isi atinge maximul in punctul 


x=-\frac{b}{2a}


Deci,


x=\frac{24}{\frac{8\sqrt{3}}{3}}=3\sqrt{3} cm


Inlocuiesti in formula suprafetei si afli aria

  ^ Sus
  Răspunde | Subiect Nou

 

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'