Forum matematică


Sa se demonstreze inegalitatea, unde x,y,z sunt numere reale.

Adi
Vizitator
2017-03-23 10:34:35

(x+y+z)2<=3x2+3y2+3z2

Vlad
Vizitator
2017-03-23 13:58:32

Treaba e foarte simpla. Acest gen de exercitii necesita doar putina atentie la calcule, la alegerea si jonglarea cu unele formule (de baza sau fundamentale) care stau la baza.


Stim ca patratul oricarui numar (fie el numar negativ) este, intotdeauna, pozitiv (mai mare sau egal cu zero).


Plecand de aici, acum, in loc de numar, scrie de fapt o diferenta (poate fi si suma, depinde cum iti este mai convenabil si ce ai de demonstrat; de aia ziceam ca trebuie atentie si la calcule si la alegerea convenabila a formulelor).


Asadar, putem scrie ca (x-y)^2 >= 0 (relatia 1), ca (x-z)^2 >= 0 (relatia 2) si ca (y-z)^2 >= 0 (relatia 3). De acord? De acord, ca na-i incotro... Smile  (si avand in vedere ce am zis mai sus).


Mergem acum mai departe si "desfacem" parantezele, pentru fiecare relatie. Avem:


x^2 - 2*x*y + y^2 >= 0


x^2 - 2*x*z + z^2 >= 0


y^2 - 2*y*z + z^2 >= 0


----------------------------


Tragem linie si adunam cele 3 relatii dezvoltate de mai sus, care dau:


2*x^2 + 2*y^2 + 2*z^2 >= 2*x*y + 2*x*z + 2*y*z (nu uita ca la trecerea unei cantitati dintro parte in alta a semnului de egalitate sau inegalitate, se schimba semnul acelei cantitati; de aceea ce era cu -2, in partea stanga, in dreapta devine cu +2)


Si.... taa-daaa, aici facem urmatoarea "smecherie": adunam, si intr-o parte (in stanga adica) si in cealalta (in dreapta) aceeasi cantitate, si anume, adunam pe x^2 + y^2 + z^2. Si asta ne da:


3*x^2 + 3*y^2 + 3*z^2 >= x^2 + y^2 + z^2 + 2*x*y + 2*x*z + 2*y*z


In stanga dam factor cumun pe 3, iar in dreapta, este formula. Si obtinem exact ce trebuia noi sa demonstram, si anume ca: 3*(x^2 + y^2 + z^2) >= (x+y+z)^2. Sau scrisca invers,c a (x+y+z)^2 <= 3*(x^2 + y^2 + z^2).


Gata! Greu? Intrebari?

Oprea Ioana
Vizitator
2018-09-20 20:37:10

Dar pentru x^4 +y^4+z^4>=xyz(x+y+z)?Ma poti ajuta te rog mult?

  ^ Sus
  Răspunde | Subiect Nou

 

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'