Intr-un trapez dreptunghic raportul lungimilor bazelor este egal cu 4, iar raportul lungimilor diagonalelor este egal cu 2. Determinati marimea unghiului ascutit al trapezului.

Se intampla sa stii si care este raspunsul corect? Eu am gasit ca tg(alfa)=2/3, de unde unghiul alfa cerut este arctg(2/3) (dupa cum vezi nu este un unghiu uzual).

Ideea e asa: A in stanga sus, B in dreapta sus (AB baza mica) si C in dreapta jos si D in stanga jos (CD e baza mare)

Avem asa: DC/AB = 4 (relatia 1) si AC/DB=2 (relatia 2).

Ducem BB' perpendicular pe CD (B' apartine CD). Avem ca AD=BB'=h (asa notam, ca fiind inaltimea trapezului dreptunghic), SI AB=DB'. Si notam pe B'C cu x.

Pornim de la faotul ca CD=DB' + B'C, adica CD=AB+x => x=CD-AB si folosind relatia 1 => x=4AB-AB => x=3*AB.

Folosim Pitagora in triunghiurile dreptunghice BAD si ADC. Si avem:

BD^2 = AB^2 + h^2 (pe asta o vom inmuti cu -1 si apoi o vom aduna la a doua)

AC^2 = DC^2 + h^2

--------------------------

AC^2 - DB^2 = DC^2 - AB^2 => 4BD^2 - DB^2 = 16AB^2 - AB^2 (aici am folosit de relatiile 1 si 2, date in ipotezxa pb)

Rezulta 3BD^2 = 15AB^2 => DB^2=5AB^2 => DB=AB*rad5.

Si apoi h^2 + AB^2 = 5AB^2, de unde rezulta ca h=AD=2AB.

In triunghiul dreptunghiv BB'C, tg(alfa) (unde alfa fiind uncgiul ascutit) = BB'/B/C = 2AB/3AB => tg(alfa)=2/3.

Excelent raspuns

Multumesc pentru apreciere! :)

Si bine v-am regasit (am absentat o perioada destul de mare, cand am stat cam departe de aceasta comunitate)!

Bine ai revenit, Vlad!