Intr-un trapez dreptunghic raportul lungimilor bazelor este egal cu 4, iar raportul lungimilor diagonalelor este egal cu 2. Determinati marimea unghiului ascutit al trapezului.
Forum matematică
Ajutor la o problema
Se intampla sa stii si care este raspunsul corect? Eu am gasit ca tg(alfa)=2/3, de unde unghiul alfa cerut este arctg(2/3) (dupa cum vezi nu este un unghiu uzual).
Ideea e asa: A in stanga sus, B in dreapta sus (AB baza mica) si C in dreapta jos si D in stanga jos (CD e baza mare)
Avem asa: DC/AB = 4 (relatia 1) si AC/DB=2 (relatia 2).
Ducem BB' perpendicular pe CD (B' apartine CD). Avem ca AD=BB'=h (asa notam, ca fiind inaltimea trapezului dreptunghic), SI AB=DB'. Si notam pe B'C cu x.
Pornim de la faotul ca CD=DB' + B'C, adica CD=AB+x => x=CD-AB si folosind relatia 1 => x=4AB-AB => x=3*AB.
Folosim Pitagora in triunghiurile dreptunghice BAD si ADC. Si avem:
BD^2 = AB^2 + h^2 (pe asta o vom inmuti cu -1 si apoi o vom aduna la a doua)
AC^2 = DC^2 + h^2
--------------------------
AC^2 - DB^2 = DC^2 - AB^2 => 4BD^2 - DB^2 = 16AB^2 - AB^2 (aici am folosit de relatiile 1 si 2, date in ipotezxa pb)
Rezulta 3BD^2 = 15AB^2 => DB^2=5AB^2 => DB=AB*rad5.
Si apoi h^2 + AB^2 = 5AB^2, de unde rezulta ca h=AD=2AB.
In triunghiul dreptunghiv BB'C, tg(alfa) (unde alfa fiind uncgiul ascutit) = BB'/B/C = 2AB/3AB => tg(alfa)=2/3.
Excelent raspuns
Multumesc pentru apreciere! :)
Si bine v-am regasit (am absentat o perioada destul de mare, cand am stat cam departe de aceasta comunitate)!
Postari: 135
Bine ai revenit, Vlad!
Forum
Noutăţi
Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net
Vă mulţumim!'