Lungimea liniei mijlocii a unui trapez isoscel este egala cu 5 cm. Se stie ca in trapez poate fi inscris un cerc. Linia mijlocie imparte trapezul in doua parti, raportul ariilor carora este 7:13. Aflati lungimea inaltimii trapezului

Fie AB baza mica (in stg sus si B in dreapta sus), CD baza mare (C in stg jos si D in dreapta jos). EF linia mijlocie (E in stg, apartine lui AC, F in dreapta, apartine lui BD). Si pct de tangenta ale cercului: M pe AC, N pe BD, P pe AB si R pe CD.

Cum cercul este inscris si cum trapezul este si isoscel, avem si notam CM=x si AM=y. Si atunci avem CM=CR=DR=DN=x si AM=MP=PB=BN=y.

Linia mijlocie inseamna (AB+CD)/2, adica x+y=5 cm (relatia 1) (case da in problema ca linia mijlocie este de 5)..

Pentru a doua relatie fiolosim raportul ariilor. Fie H inaltimea trapezului ABCD. Ea este impartita in doua parti egale de linia mijlocie. Fie h inaltimea trapezului de sus (care este egaka si cu inaltinea trapezului de jos). AriaABEF/AriaEFCD=7/12.

Atunci ((2y+5)/2) / ((2x+5)/2) =7/13 => 26y +65=14x+35 adica (dupa simplificari) 7x-13y=15 (asta e relatia 2).

Rezolvand sistemul ce lor doua relatii 1 si 2, obtibem x=4 si y=1. Deci latura oblica AC=5. Fie T pct de pe CD, AT perprndicular pe CD (AT inaltinea trapezului).  CTeste CR-AP, adica x-y. Deci CT=3. Atunci Pitagora ne da ca H=AT=4 cm.

Gata! Intrebari?

mmm, aici nui o erroare cumva?
Linia mijlocie inseamna (AB+CD)/2, adica x+y=5 cm
Ar trebui sa fie
Linia mijlocie inseamna (AB+CD)/2, adica (x+y)/2=5 cm  ?

Gata am inteles, multumesc mult de ajutor.