In paralelogramul ABCD bisectoarea unghiului BAD,intersecteaza dreapta BC in E si dreapta CD in P.

Bisectoarea unghiului BCD intersecteaza dreapta AD in F si dreapta AB in Q.

a)demonstrati ca patrulaterul BPDQ este paralelogram

b)demonstrati ca patrulaterul AECF este paralelogram

c)demonstrati ca patrulaterul EPFQ este paralelogram

Avem figura aceasta:

Mai departe trebuie sa demonstram, la primul punct ca BPDQ este paralelogram.
Stim ca m(∠DAB) = m(∠BED) pentru ca sunt unghiuri opuse intr-un paralelogram. =>
∠DAP = ∠PAB = ∠BCQ = ∠DCQ ( =∠DAB / 2)

Avem, mai departe:

Deci, BQ ≡ DP

Dar BQ || DP. Din aceste ultime doua relatii rezulta ca BPDQ este paralelogram (doua laturi opuse si paralele).

Pentru al doilea punct stim ca

AF || CE (pentru ca sunt prelungirile a doua laturi paralele ale paralelogramului)

AP || QC (pentru ca sunt laturile a doua unghiuri congruente cu laturile paralele)

Din aceste doua relatii rezulta ca AECF este paralelogram.

multumesc!