Ma poate ajuta cineva cu urmatoarele probleme de geometrie - clasa a opta?

1. Se da trapezul isoscel ABCD cu AB paralel cu CD, AB= 20 cm, DC=12 cm si masura unghiului B = 45 grade. Calculati lungimea cercului circumscris trapezului.

2. Fie [AB] un diametru al unui cerc. Pe tangenta in A la cerc se iau, de o parte si de alta a lui A, punctele M si N. Dreptele BM si BN taie cercul in P si Q. Demonstrati ca BPxBM=BQxBN

3. Se considera un cerc cu centrul in O si raza 10 cm. Punctul A este exterior cercului, AB este tangenta la cerc si AO =30 cm. Daca AO intersecteaza cercul in C si D, aflati: a) aria triunghiului BOC;  b) aria triunghiului BCD

4. Aria cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este 100π cm², iar raportul catetelor este ¾. Calculati lungimea cercului inscris in triunghiul dat

5. In triunghiul ABC se stie ca  masura unghiului A = 90 grade, AB=15 cm si AC=20 cm. Cercul cu centrul in B si raza BA intersecteaza pe BC in M, iar cercul cu centrul in C si raza CA intersecteaza pe BC in N. Fie D cel de al doilea punct de intersectie al celor doua cercuri si AD∩BC={P}. Calculati lungimile segmentelor [BN], [CM], [MN], [NP], [MP] si [AD]

Avem figura aceasta:

Aceasta este doar figura pentru prima problema. Am avea urmatoarele.

O   - centrul cercului circumscris trapezului.

Cum unghiul AOC si unghiul ABC deschid aceeasi coarda de pe cercul circumscris, iar AOC este unghi la centru =>

Apoi,

Dar triunghiul CMB este dreptunghic isoscel. => CM = MB = 4 cm

Apoi, aplicam Teorema lui Pitagora in ΔAMC si avem:

Acum trecem la ΔAOC care este dreptunghic in O si este si isoscel. De ce este isoscel? Pentru ca AO si OC sunt raze ale aceluiasi cerc.

Si avem un unghi de 45 de grade in acest triunghi. De fapt, doua unghiuri de 45 de grade.

Sper sa nu fi gresit la calcule. Verifica tu!

La problema 3 avem figura:

Ai triunghiul ABO dreptunghic si ii poti afla aria. Il afli mai intai pe AB cu Teorema lui Pitagora:

Acum putem afla aria triunghiului ABO:

Ducem acum inaltimea CI in ΔBCO. Si avem:

Trebuie sa il aflam pe CI.

CI || AB si putem sa ne folosim de Teorema lui Thales si sa observam ca:

Deci, aflam foarte usor aria triunghiului BCO.

De fapt, cred ca aria lui ABO nici nu ne trebuia.

4. Aria cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este 100π cm², iar raportul catetelor este ¾. Calculati lungimea cercului inscris in triunghiul dat. 

Avem figura:

Aflam mai intai raza cercului circumscris.

Dar stim ca, in triunghiul dreptunghic, centrul cercului circumscris se afla pe ipotenuza. Mai exact, la mijlocul ipotenuzei.

Deci, AB = 20 cm.

Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul ABC:

, si inlocuim in Teorema lui Pitagora. Rezulta:

Deci, AB = 12 cm, BC = 16 cm

Acum stii toate laturile triunghiului ABC, Tu mai trebuie sa afli care este raza cercului inscris.

Pentru a patra problema, nu mai am timp sa fac toata rezolvarea dar...

Cu Teorema lui Pitagora il afli pe BC

BC = 25 cm

Apoi, ai:

BN = BC - CN = 25 - 20 = 5 cm

Ai CN = 20 pentru ca este raza in cercul cu centrul in C

Apoi,

CM = BC - BM = 25 - 15 = 10 cm

La fel, BM este raza in cercul cu centrul in B

MN = BM + NC - BC = 15 + 20 - 25 = 10 cm

Apoi, se vede usor ca AP este inaltime in triunghiul ABC (dreptunghic) si se afla usor cu raportul dintre produsul catetelor si ipotenuza.

Succes!