Se un trapez abcd cu baza mare a si baza mica b. Diagonalele se intersecteaza in o. EF  este paralel cu bazele si trece prin o. Aflati EF.

Notam trapezul ABCD, AB fiind baza mare (de lungime a) si CD baza mica (b), E si respectiv F sunt pe AD respectiv BC. Triunghiurile EOD si DAB sunt asemenea => EO/a = DO/DB deci DO=BD*EO/a . Triunghiurile OBF si BCD sunt asemenea si rezulta similar ca OB=BD*OF/b si adunand membru cu membru relatiile scrise ingrosat si tinand cont ca DO+OB=BD si simplificand relatia rezultata prin BD => EO/a + OF/b = 1 (i). Din asemanarea triunghiurilor AOE si ACB => AO=AC*EO/b iar din asemanarea COF cu CAB => CO=AC*OF/a si folosind tehnica descrisa mai sus obtinem EO/b + OF/a =1 (ii). Relatiile (i) si (ii) formeaza un sistem liniar si rezolvandu-l (fie prin metoda substitutiei fie prin metoda reducerii) => EO=OF=ab/(a+b) deci EF= 2ab/(a+b). M-a surprins un pic faptul ca EO=OF dar am vazut ca asta se putea pune in evidenta timpuriu, chiar inainte de a le calcula efectiv, daca pe langa asemanarile mentionate se avea in vedere si asemanarea triunghiurilor DOC si AOB ( si asa nu ar mai fi trebuit practic sa rezolv un sistem ci doar o ecuatie)

Multumesc frumos!

Cu drag!

Cu drag!