Forum matematică


Problema clasa 9 va rog ajutor

Mihai
Membru din 2020-03-10
 
Postari: 3
2020-03-10 23:40:54

Fie (a_{n})_{n\geq 1} un șir de numere naturale definit astfel: a1  este prim și an+1=2an+1, pentru care n\geq 1. Să se arate că în șirul  (a_{n})_{n\geq 1} exista cel puțin un termen care nu este prim. Mulțumesc anticipat.

Mihai
Membru din 2020-03-10
 
Postari: 3
2020-03-11 11:34:02

Acolo era "pentru care n>=1"

Petrica
Vizitator
2020-03-17 01:19:51

Nu stiu exact cum er trebui sa fac acum, dar pot sa vin cu doua exemple>


De exemplu, luăm șirul:


(a_{n}): a_{1}=7, \: a_{n+1}=2a_{n}+1


Avem, mai departe:


a_{2}=7\cdot 2+1=15


Iar 15 nu este număr prim.


 


 

Stelian Popa
Vizitator
2020-03-17 17:00:30

Pe de altă parte, am putea calcula formula termenului general al sirului. Astfel că, avem:


a_{2}=2\cdot a_{1}+1


a_{3}=2\cdot a_{2}+1=4\cdot a_{1}+3


...


a_{n+1}=2\cdot a_{n}+1 = 2(n+1) a_{1} + 2n+1 = 2(n+1)(a_{1}+1) - 1


Cu exeptia cazului cand a1 = 2, avem an+1 de forma 4(k+1) - 1 sau 4k+3.


 


Trebuie sa demonstrezi ca exista o infinitate de numere compuse de forma 4k+3. Si atunci problema ta e rezolvata.

alina
Vizitator
2020-03-17 21:15:36

Buna! a2=2a1+1=2(a1+1)-1 ; a3=2a2+1=2[2(a1+1)-1]+1=4(a1+1)-1=22(a1+1)-1 ; a4=2[22(a1+1)-1]+1= 23(a1+1)-1 ...etc...tragem concluzia (verificabil prin inductie) ca an+1=2n(a1+1)-1 . Am aflat formula termenului general de dragul exactitatii...nu stiu cat de utila este in continuare. Daca a1=2 (singurul nr prim par) atunci urmatorii termeni vor fi 5;11;23;47;95 si iata ca am gasit un nr compus (95 \vdots5) . Celelalte nr prime sunt impare , deci au ultima cifra 3 , 7 sau 9 (sau sunt 3,5,7 ceea ce nu schimba rationamentul) . Daca Ua1=3 (ultima cifra a lui a1 este 3) => Ua2=7 => Ua3=5 deci a3 \vdots 5 ; daca a1=5 => a5=95 ; daca Ua1=7 => Ua2=5 deci a2 \vdots 5 . Lucrurile se complica daca Ua1=9 pentru ca si ceilalti termeni ai sirului vor avea ultima cifra "9" deci nu mai putem avea abordarea anterioara. Spre exemplu, daca a1=89 atunci urmatorii termeni vor fi 179 , 359 , 719 , 1439 , 2879 , 5759 si am constatat (consultand tabelul de nr prime) ca abia al 7 lea termen al sirului este nr neprim (compus ; 5759=13x443) .In acest caz am reusit (relativ greu ) sa gasim un termen al sirului care nu e prim dar trebuie sa aratam ca vom reusi sa gasim ptr orice a1 prim care se termina in 9 . trebuie cautata o abordare in acest sens si poate ca formula termenului general pe care amm gasit-o se poate dovedi utila...trebuie reflectat !!!

Mihai
Membru din 2020-03-10
 
Postari: 3
2020-03-19 15:52:29

Multumesc tutror pentru ajutor!! 

  ^ Sus
  Răspunde | Subiect Nou

 

Forum

...
 

Noutăţi

 

Daca vreti sa ne dati o idee scrieti-ne la opinii@mateonline.net

Vă mulţumim!'