1. Fie punctele M(1, 2, 3), A(1, 2, 4), B(2, 2, 4) ¸si C(2, 3, 4). Sa se calculeze distanta de la punctul M la planul π = (ABC).

2. Sa se determine natura si genul conicei Γ : x 2 + 2xy+y 2 + 8x+ 4y−8 = 0.

Avem ecuatia planului in spatiu determinat de trei puncte>

Deci, pentru cazul nostru trebuie sa avem:

Acum sa aflam care este ecuatia planului. Adica, sa rezolvam determinantul:

Dupa rezolvare, rezulta ca ecuatia planului este:

Acum trebuie sa gasim perpendiculara din M pe plan. Si sa aflam distanta.

Acum, daca avem punctul Q(m, n, p) si planul

atunci distanta de la Q la planul α este:

Deci, in cazul nostru, avem:

Buna!

Abordarea d-lui Popovici mi s-a parut super ok , dar rezultatul un pic straniu : daca ecuatia planului ar fi (π) : z=0 , ar insemna ca e vorba de planul xOy , ceea ce evident ca nu e adevarat . Am reluat calculele (la determinant am facut L_i-L₄ , unde i=1,2,3 adica am scazut elementele  liniei 4 din elementele corespunzatoare ale celorlalte linii, am dezvoltat apoi determinantul obtinul dupa elementele coloanei a4a etc si am obtinut in final z-4=0 (sau z=4) ; nu cred sa fi gresit , rezultatul e plauzibil , ptr ca punctele A,B si C au fiecare coordonata z egala cu 4. Se obtine distanta δ(M,π)=1. 

Numai bine!

Aveti dreptate. Am gresit la calcule.