Derivata in fizica este folosita pentru a studia rata de variatie a unei functii pe intervale foarte mici. Spre exemplu, daca functia o reprezinta spatiul x(t) atunci dx/dt este viteza instantanee, v. Respectiv dv/dt, acceleratia instantanee, a. Derivata este panta la graficul functiei in punctul de interes.

Daca functia are un maxim, panta este 0 deci derivata este zero. Deci pentru maximul functiei, derivata (panta) este 0.

Limita semnifica faptul ca punctul rosu de pe grafic in care se duce tangenta (panta) tinde spre o valoare foarte mica. Deci rata de variatie se studiaza pe intervale foarte mici ale functiei. Tinde la 0 dar nu este chiar 0.

Imaginati-va ca graficele de mai sus reprezinta parametri fizici (spatiu, viteza, acceleratie, curenti, temperatura, etc) a caror variatie este studiata si analizata cu ajutorul derivatei.

Integrala S in fizica reprezinta aria de sub functia f(x)

Integrand insumam toate intervalele mici(mentionate in definitia derivatei) de sub functia f(x), S=integrala(f(x)dx)

Spre exemplu faca f(x) reprezinta un curent I(t) atunci integrala(I(t)dt) reprezinta sarcina.

Apoi trecem la lucruri serioase

Limitele in Fizica sunt ok, atata timp cat vorbim de valori instantanee: ca viteza instantanee v=dx/dt, acceleratia instantanee a=dv/dt, etc, dar limitele devin o chestiune sensibila cand vorbim de singularitati (intreaga masa concentrata intr-un punct de dimensiune zero) adica o densitate egala cu infinit. m/0=infinit. Infinitul iarasi reprezinta o chestiune sensibila in fizica.

Exemplu practic. Consideram un circuir electric alcatuit dintro sursa (E), o rezistenta exterioara (R) si rezistenta interioara (r). Se cere, sa se determine pentru ce valori ale lui R, transferul de putere sa fie maxim. 

Daca ne gandim la definitia derivatei, si ne imaginam graficul P(R) ca o functie, stiind ca (din definitia derivatei) graficul prezinta un maxim acolo unde derivata dP(R)/dR=0, este zero. Derivam in raport cu R si egalam cu zero, obtimen valoarea lui R pentru care puterea P este maxima.

Transferul maxim de putere

P=E^2R/(R+r)^2   formula pentru putere

Derivand dP(R)/dR si egaland cu zero obtinem r^2-R^2=0 andica transferul maxim de putere este maxim pentru R=r.

Aceste aplicatii sunt cunoscute ca probleme de maxim si minim in Fizica

Miscarea uniform variata (v=cst)

Ecuatie v=dx/dt

vdt=dx, integram in ambele parti Int(vdt)=Int(dx), adica x=x(0)+vt, (ecuatia miscarii uniform variate)

Observam ca, matematic,  ecuatia este ecuatia unei drepte care porneste din x(0) si are panta v=cst

Miscarea uniform accelerata (a=cst)

Ecuatie a=dv/dt

adt=dv, integram in ambele parti Int(adt)=Int(dv), adica v=v(0)+at, ecuatia vitezei pentru miscarea uniform accelerata. O dreapta de panta constanta a.

Apoi Int(vdt)=Int(v(0)dt)+Int(atdt), adica x=x(0)+v(0)t+at^2/2, ecuatia spatiului pentru miscarea uniform accelerata. O parabola avand tangenta (panta) in orice punct egala cu v.

Observam ca daca derivam ecuatia vitezei obtinem ecuatia spatiului.

Iar spatiul in miscarea uniform accelerata, o parabola avand panta in orice punct egala cu v. Ca o mentiune, spatiul in miscarea uniform accelerata (cum este si campul gravitational) este curb (asta pentru Relativitatea generala)

Obtinerea ecuatiei oscilatorului liniar armonic cu ajutorul derivatelor

x=Asinwt, elongatia

v=Awcoswt, viteza prin derivare dx/dt

a=-Aw^2sinwt, acceleratia prin derivare dv/dt

Scriem ecuatia ma=-kx, inlocuim a si x din relatiile de mai sus si obtinem w^2=k/m

Energia oscilatorului E=Ec+Ep=mv^2/2+kx^2/2=kA^2, se obtine prin inlocuirea lui v si x din relatiile de mai sus

Forța conservativă este o forță care acționează asupra unui punct material astfel încât lucrul mecanic efectuat nu depinde de drumul efectuat de acesta, ci numai de punctele extreme ale traiectoriei. Într-un câmp de forțe conservative, forța care acționează asupra punctului depinde numai de poziție acestuia, nu de masa sau de accelerația lui. O astfel de forță are același modul și direcție cu vectorul gradient al unei funcții scalare V de coordonatele de poziție ale punctului (numită potențial scalar), dar sens invers (derivata unui potențial):

Dacă o astfel de forță își deplasează punctul de aplicare din P₁ în P₂, lucrul mecanic efectuat este:

Așadar, lucrul mecanic depinde numai de poziția inițială și de cea finală a punctului asupra căruia se exercită forța conservativă, nu și de forma traiectoriei sale.

Exemple:

1. Energia potentiala gravitationala Ep=-mgx

F=-dEp/dx=mg, forta gravitationala

2. Energia potentiala elastica Ep=kx^2/2

F=-dEp/dx=-kx, forta elastica

In imagine se observa ca energia potentiala gravitationala in punctul A este Ep=-mgh, indiferent de modul in care corpul ajunge acolo. Fie prin CA, fie prin BA. Expresia fortei este aceeasi F=dEp/dh = mg

Fortele de frecare sunt neconservative, in sensul ca depind de viteza si sunt disipative. Energia potentiala nu poate fi definita pentru ele.

Energia totala in Fizica se conserva in timp. E=Ec+Ep, deci pentru ca energia totala sa se conserve in timp, dE/dt=0, E=cst in timp

Demonstrand se arata ca d/dt(Ec+Ep)=Fv-Fv=0, deci energia este constanta in timp, dE/dt=0.

Studiind veti gasi lucruri interesante in fizica, cum ar fi Principiul actiunii minime. Cu derivate si integrale

Sau mecanica Hamiltoniana, tot cu derivate si integrale

Apoi mecanica statistica. Distributia Boltzmann, tot cu derivate

Pana la mecanica cuantica

Este o greseala:

Miscare rectilinie uniforma (v=cst)

Miscare rectilinie uniform variata (a=cst)

In final veti vedea ca Fizica Teoretica modeleaza matematic realitatea inconjuratoare

Principiul actiunii minime de spune ca toate procesele din natura functioneaza cu un consum minim de energie. Sa consideram o picatura de ulei pe o suprafata de apa (apelam la chimie):

Observam ca picatura de ulei ia o forma circulara (asta vedem si in ciorbele pe care le pregatim acasa). Pentru o suprafata data perimetrul exterior este minim atunci cand suprafata se organizeaza sub forma unui cerc. Energia E=Fx este minima cand d este minim (cand x=perimetrul cercului). Folosind derivata trebuie sa evaluam energia de interactiune apoi punem conditia de minim dE/dS=o, si ar rezulta ca S=pir^2 (aria unui cerc).

Apoi sa consideram o micela. Micela se organizeaza ca sfera pentru ca suprafata de interactiune intre ea si mediul exterior apos trebuie sa fie minima. Suprafata este minima cand aria exterioara este S=4pir^2 (aria unei sfere). Matematic acest lucru ar rezulta din conditia de minim dE/dS=o, obtinem ca suprafata exterioara este o sfera.

Nu este de mirare ca multe lucruri pe care le vedem in natura sunt circulare si sferice (planetele, orbitele lor, orbitele electronilor)

Daca spatiultimp ar fi un superfluid, atunci in mod normal planeta se comporta la fel cum se comporta micela si va fi sferica. Orbitele lor sunt circulare pentru ca se compoita in mod asemanator peliculei de ulei pe apa (traiectorie circulara, energie minima. Electronii nu fac exceptie (tot traiectorii circulare).

Clarificari: picatura de ulei despre care am vorbit initial este o picatura foarte mica, care odata pusa in apa se organizeaza sub forma unei pelicule ff subtiri, astfel incat o putem considera un cerc (sa spunem format dintr-un singur strat de molecule. Despre ce energie vorbin? care energie trebuie sa fie minima? Este vorba de energia potentiala de interactiune la interfata ULEI/APA. Pentru ca energia sa fie minima pelicula de ulei trebuie sa fie circulara, iar miceliile sa fie sfere.

Matematic vorbind, luati o suprafata de 1 m^2 si incercati sa o organizati in tot felul de forme. Sa zicem intai partat (de latura 1/1, perimetrul =4), apoi toate figurile geometrice posibile. Veti constata ca atunci cand considerati o suprafata circulata de arie 1 m^2, perimetrul este minim in comparatie cu celelalte configuratii. Cum energia de interactiune o putem scrie ca E=Fd, rezulta ca d (perimetrul) trebuie sa fie minim), lucru care este valabil doar atunci cand pelicula este un cerc..

La fel pentru micelii (de ce sfere?). Considerati un volum de 1 m^3, il organizam ca un cub (suprafata exterioara, 6 fete de 1m^2, deci 6 m^2. Continuam cu alte configuratii, si cand ajungem la sfera obtinem o suprafata minima. De mentionat ca suprafata de contact MICELA/APA prebuie sa fie minima pentru ca energia de interactiune sa fie minima, lucru valabil doar atunci cand micela este o sfera.

Matematica principiului actiunii minime. Se porneste cu un Lagrangean, diferenta dintre enetgia cinetica si energia potentiala:

Se scrie actiunea

se calculeaza o variatie foarte mica in jurul lui S

Pentru ca dS sa fie 0 trebuie ca paranteza sa fie zero

pentru ca 

Obtinem ecuatia Euler-Lagrange. Din care obtinem legile de miscare ale sistemului considerat

Adica 

Legea de miscare, ecuatia lui Newton. In cazul nostru o particula in miscare.

Concluzie:

Pentru orice sistem fizic se scrie actiunea S, se urmeaza pasii de mai sus si se obtin ecuatiile care descriu sistemul, prin conditia dS=0. Aceasta este ideea calculului analitic. Principiul actiunii minime se aplica in aproape toate domeniile fizicii (mecanica, electromagnetism, relativitate generala, mecanica cuantica), ecuatiile putand fi obtinute prin metoda amalitica, fara a necesita o reprezentare vectoriala. 

Matematica principiului actiunii minime. Se porneste cu un Lagrangean, diferenta dintre enetgia cinetica si energia potentiala:

Se scrie actiunea

se calculeaza o variatie foarte mica in jurul lui S

Pentru ca dS sa fie 0 trebuie ca paranteza sa fie zero

pentru ca 

Obtinem ecuatia Euler-Lagrange. Din care obtinem legile de miscare ale sistemului considerat

Adica 

Legea de miscare, ecuatia lui Newton. In cazul nostru o particula in miscare.

Concluzie:

Pentru orice sistem fizic se scrie actiunea S, se urmeaza pasii de mai sus si se obtin ecuatiile care descriu sistemul, prin conditia dS=0. Aceasta este ideea calculului analitic. Principiul actiunii minime se aplica in aproape toate domeniile fizicii (mecanica, electromagnetism, relativitate generala, mecanica cuantica), ecuatiile putand fi obtinute prin metoda amalitica, fara a necesita o reprezentare vectoriala. 

Cam atat despre derivata ... "ata lunga face noduri" ... "matematica este simplitate".

Tot in cadrul derivatei si minimizarii energiei: Chimia cuantica - o lectura relaxanta pentru fizicieni

In cadrul chimiei cuantice vom observa ca atomii si moleculele pot fi descrise folosind mecanica cuantica, in termeni matematici. Atomii si moleculele devin ecuatii matematice, oferindu-ne posibilitatea de a studia proprietatile lor chimice pe cale teoretica, folosind un calculator (chimie teoretica).

Bazele matematice ale chimiei cuantice au fost puse de Schrodinger in 1926.

Pentru atomul de hidrogen se rezolva ecuatia lui Schrodinger pentru sistemul proton-electron iar solutiile acestei ecuatii reprezinta orbitalii atomului de hidrogen. Mecanica cuantica fiind probabilistica, orbitalii ii definim ca "locul probabil" unde se afla electronii.

Pentru molecule vom asista la suprapunerea acestor orbitali, structura reala a moleculei fiind structura teoretica de energie minima.

Observam ca avem posibilitatea de a prezice structura unui compus chimic, folosind teoria orbitalilor atomici. Acest lucru este posibil in chimia cuantica, dar nu functioneaza decat pentru molecule mici, teoria avand limitarile ei.

Citind orice carte de chimie cuantica veti vedea ca ceea ce cititi (chimia cuantica) reprezinta de fapt mecanica cuantica aplicata atomilor si moleculelor.

Observam in imaginea de mai sus ca structura determinata experimental (prin metode spectroscopice), este aceeasi cu structura prezisa de chimia cuantica.

In final sa spunem o poveste. Povestea stiintelor

Matematica este regina stiintelor.

Fizica este mana ei dreapta, in sensul ca foloseste tot ce se poate din matematica pentru a descrie realitatea inconjuratoare si pune in practica anumite lucruri utile oamenilor, lucruri pe care le numim tehnologii.

Chimia este o disciplina mai mult practica, dar foarte utila, realizand de la sinteze chimice, determinari de structura, tehnologii chimice (biotehnologii, etc). Chimia are si o parte teoretica, chimia cuantica, dar este fizica cuantica aplicata atomilor si moleculelor. 

Biologia - studiul vietii si al tuturor organismelor vii, folosind matematica, fizica, chimia.

Daca ar fi sa vorbim despre interdisciplinaritate ne-ar trebui pagini intregi. Voi da doar un exemplu:

Biologia structurală este o ramură a biologiei moleculare, biochimiei și biofizicii care se ocupă cu determinarea structurii biomoleculelor (moleculele din organismele vii). Biomoleculele sunt reprezentate de proteine (alcătuite din aminoacizi), ADN sau ARN (alcătuite din nucleotide) și membrane biologice (alcătuite din lipide). De asemenea, unul dintre rolurile acestei discipline este de a elucida modul în care aceste structuri sunt formare și cum diferite schimbări ale structurii lor moleculare duce la schimbarea fundamentală a funcțiilor.^[1]

Pentru a putea fi studiate in laborator aceste biomolecule trebuie sintetizate. Spre exemplu sinteza (exprimarea) proteinelor ce trebuie analizate se face intr-o gazda (cel mai adesea bacteria E. coli), in al carei ADN se incorporeaza gena proteinei. Bacteria va recunoaste gena proteinei si va incepe sa o produca (ulterior proteina fiind purificata si va merge spre analiza). Vezi manual biologie clasa a 12 - a (sinteza proteinelor).

Din text ce deducem:

-in biologia structurala exista un laborator de sinteza (exprimarea proteinelor) in care de obicei se afla un biochimist. Mai poate lucra si un biolog specializat in biologie moleculara. Laboarele de sinteza necesita bune deprinderi in munca de laborator asa incat un chimist cu cativa ani de experienta este persoana cea mai potrivita.

-un laborator de structura, pentru determinarea structurii proteinelor prin metode ca spectroscopia RMN sau cristalografia cu raze x, unde lucreaza un biofizician sau un biochimist. Utilizarea tehnicilor din laboratoarele de structura necesita cunostinte de fizica foarte bune, asa incat un biofizician este potrivit in acest loc.

-mai pot lucra biomatematicieni si bioinformaticieni pentru implementarea de modele statistice folosind baze de date. Predictii de structura, predictii in analiza spectrala, etc

Practic vorbind fiecare (chimistul, fizicianul, matematicianul, biologul) isi mai baga nasul prin celelalte laboratoare. Eu personal am lucrat in biologie structurala, in laborator de structura (Folosind spectroscopia RMN), dar am sintetizat si o proteina in laboratorul de sinteza. 

In imagine ii vedem pe cei 4 (chimist, fizician, biolog, matematician) care vin fiecare cu partea lui si completeaza puzzelul numit biologie structurala. Nu se poate lucra decat in echipa.

Tot aici ar trebui sa spunem câteva cuvinte despre Geofizica și Fizica Atmosferei. Personal am citit câte o carte despre fiecare, este fizica și este ok dar nu am avut nici un fel de contact cu domeniul. Nu cunosc prea multe. 

Fizica este frumoasă în sine prietenul meu 

Pe mine ma puteti gasi la adresa 

https://bogdanbancia.simplesite.com/

Informatia de pe acest forum a fost publicata in format carte si o puteti citi la adresa

https://issuhub.com/view/index/77750

Toate cele bune,

Bogdan Bancia

Calcul variational

Calculul variațional este un capitol al analizei matematice care are ca obiect studiul problemelor de determinare a extremelor unei funcționale.

Printre problemele care au generat apariția calculului variațional se numără problema izoperimetrelor și problema brahistocronei (Jean Bernoulli, 1696).

Denumirea și fundamentarea calculului variațional i se datorează lui Euler (1744). Lagrange (1760) a introdus noțiunea de variație și a dat o metodă de determinare a extremelor unei funcționale.

Calculul variațional are aplicații în mecanica sistemelor, hidrodinamică, teoria elasticității, optică geometrică.

Din punct de vedere istoric, prima problema de calcul variațional este așa numita problemă a lui Dido. Conform legendei, Didona, al cărui soț fusese asasinat, este nevoită să fugă cu averea acestuia. Debarcând pe țărmul african, localnicii îi oferă suprafața pe care poate să o cuprindă cu o piele de taur. Didona taie pielea în fâșii înguste pe care le leagă cap la cap și înconjoară cu ele o bucată de teren pe care va construi cetatea Cartaginei, căreia îi devine regină.

Încă din antichitate, latura matematică a legendei a interesat pe matematicieni: cum trebuie dispus firul alcătuit din fâșiile înguste pentru ca el să înconjoare o porțiune de arie maximă?

Formulare matematica

Problema are mai multe variante. Una din acestea ar fi următoarea: să presupunem că axa x'Ox reprezintă țărmul mării și că punctele {\displaystyle A(a,0),B(b,0)\!} reprezintă capetele firului, graficul funcției {\displaystyle y=f(x),\!} definită și derivabilă pe [a, b], este firul. Aria limitată de fir și țărm este:

în timp de lungimea firului este:

Atunci problema lui Dido revine la determinarea funcției  {\displaystyle y=y(x),\!}definite și derivabile pe [a, b], care satisface condițiile:

astfel încât integrala:

să aibă valoarea maximă.

Din motive evidente, o asemenea problemă se numește problemă izoperimetrică. Încă din antichitate se cunoștea că formă căutată a firului este cea a unui arc de cerc, ceea ce se poate demonstra.

Se poate raționa și altfel. Fie {\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}\!} arcul graficului. În relația:

se consideră pe x, y ca funcții de absisa curbilinie s și integrăm prin părți:

Problema revine la a determina funcția {\displaystyle x=x(s)\!} definită pe intervalul {\displaystyle [0,L]\!} cu proprietatea că {\displaystyle x(0)=a,\;x(L)=b\!} și că integrala:

are valoare minimă.

O altă variantă a problemei lui Dido ar fi aceea în care presupunem că firul ar reprezenta o curbă netedă închisă cu ecuațiile parametrice:

funcțiile {\displaystyle x(t),y(t)\!} fiind deci derivabile pe porțiuni pe {\displaystyle [t_{1},t_{2}].\!} Atunci lungimea firului este:

iar aria limitată de fir este:

Problema revine deci la determinarea celor două funcții {\displaystyle x(t),y(t)\!} definite și derivabile pe porțiuni pe intervalul {\displaystyle [t_{1},t_{2}]\!} astfel încât să aibă relația:

și ca integrala:

să fie maximă. Și aceasta este tot o problemă izoperimetrică și curba care dă soluția este un cerc.

Apoi urmeaza principiul actiunii minime (Hamilton, Lagrange), care se rezuma tot la tezolvarea unei functionale. Principiu descris anterior.

folosit in fizica moderna.

Vom reda actiunea S, sau lagrangeanul L pentru cateva domenii din fizica

Electromagnetism

Rwlativitate Speciala

Relativitate Generala

Mecanica Cuantica

Observam ca pentru fiecare domeniu al fizicii, trebuie scrisa actiunea S (sau lagrangeanul), in forma specifica, si din conditia

se obtin toate ecuatiile fizicii. 

O generalizare si o subliniere a universalitatii principiului actiunii minime in fizica, este o contributie didactica buna. Studentii for invata mult mai eficient si mai usor fizica. Principiul actiunii minime se aplica si pentru procese stochastice.

Conținutul poate fi găsit pe pagina Researchgate Bogdan Bancia

Istoria calculului infinitezimal incepe inca din Antichitate cand Eudoxus si Arhimede folosesc metoda epuizarii pentru a determina aria cercului. 

In evul mediu oameni de stiinta precum Cavalieri, Barrow, Bernouli, Liu Hui (China), Zu Chongzhi (China), Ibn al Haitham (Orient), Decartes, Fermat, Pascal, Wallis au contribuit la dezvoltarea calculului infinitezimal.

Newton si Leibnitz au adus calculul infinitezimal la forma adecvata.fiind considerati fondatori ai acestuia.

Urmeaza Euler si Lagrange, calculul variational.