Se da un triunghi oarecare
pe laturile acestuia se construiesc triunghiuri echilaterale
Sa se demonstreze ca triungiul format de centrele triunghiurilor echilaterale este tot un triunghi echilateral

vezi ca se observa pe-acolo niste unghiuri de 30°
gasesti ceva triunghiuri asemenea

Problema este foarte cunoscuta sub numele de

Teorema lui Napoleon

Avem unghiul (NAP) = 30° + ung(CAB) + 30° = ung(CAB) + 60°
Unghiul (CAC') = 60° + ung(CAB)
Rezulta ung(NAP) = ung(CAC') (a)

Mai stim ca AN = AC/radical(3) (b)
iar, AP = AC'/radical(3) (c)

Din relatiile (a), (b) si (c) => triunghiul(NAP) ~ triunghiul(CAC') => NP = CC' / radical(3)


La fel demonstram ca triunhiul CBC' este asemenea cu triunghiul PBM => PM = CC'/radical(3)

Deci, NP = PM.

La fel demonstram ca NP = MN.

Din aceste ultime 2 relatii rezulta ca triunghiul MNP este echilateral. (q.e.d.)